\embed{definition}{&nbsp;}\exercise{cmd=new&module=U1/algebra/oeflinapp.fr&exo=baseimage}{L'exercice}
<pre class = "cc">
\title\lbrac Base de l'image \rbrac
\language\lbrac fr \rbrac
\author\lbrac Marie-Claude David \rbrac
\email\lbrac mcld@math.u-psud.fr \rbrac
\computeanswer\lbrac no \rbrac
\format\lbrac html \rbrac
\precision\lbrac 10000 \rbrac
\integer\lbrac n = 4 \rbrac
\integer\lbrac b = \randint(1<tt class="w">..</tt>3) \rbrac
\matrix\lbrac B = \slib(matrix/givenrank \\n,\\n,\\b,4) \rbrac </pre>
<div class = "aide">On avait besoin d'une matrice de rang donné.
On a utilisé pour cela un script tout fait</div><pre class = "cc">
\statement\lbrac Soient &#92;((e_1,e_2,e_3,e_4) \\) une base de &#92;( \\RR^ \\n)
</pre><div class = "aide">Au passage, \\RR permet d'avoir le 
R des réels.
Il y en a d'autres comme \\NN, \\ZZ ainsi que les lettres grecques</div>
<pre class = "cc">
   et &#92;(f ) l'endomorphisme de &#92;(\\RR^\\n) dont la matrice
   dans la base &#92;((e_1,e_2,e_3,e_4))est 
   &lt;center&gt; &#92;([ \\B])&lt;/center> 
   &lt;p>
   Donnez une base de l'image de &#92;( f). 
  &lt;hr>
  &lt;p&gt; Entrez les composantes des vecteurs de la base de l'image  
   en colonne.
  &lt;/p> \rbrac
\answer\lbrac Votre réponse \rbrac\lbrac \\rep \rbrac\lbrac <tt class="type">type = matrix</tt> \rbrac </pre><div class = "aide">\\rep n'a pas été défini avant. Il prendra
la valeur de la réponse envoyée. </div><pre class = "cc">
\hint\lbrac Les images des vecteurs &#92;(e_1,e_2,e_3) et &#92;(e_4)   
   forment une famille génératrice de l'image. \rbrac
\feedback\lbrac 1 = 1 \rbrac\lbrac Les vecteurs que vous avez donnés sont &#92;([&#92;reply1]) \rbrac </pre> 
<div class="aide">Un feedback qui a lieu quelque soit la réponse.
Ici, ce n'est pas vraiment un feedback mais
plutôt un moyen de pallier
au fait que la réponse automatique de la matrice
n'est pas vraiment lisible</div><pre class="cc">
\matrix\lbrac reply1 = \\reply1 \rbrac </pre><div class ="aide">On peut utiliser ici soit \\rep soit \\reply1.
Dans le cas où &#92;rep est défini avant, seul &#92;reply1 est correct
pour désigner la réponse envoyée. </div><pre class = "cc">
\text\lbrac aC = \pari(C = concat([\\B],Mat([&#92;reply1]));
   [C,matrank(C),matrank(Mat([&#92;reply1]))]) \rbrac </pre><div class = "aide">Utilisation du logiciel GP/pari. 
</div><pre class = "cc">
\text\lbrac C = \item(1,\\aC) \rbrac
\text\lbrac a = \item(2,\\aC) \rbrac
\text\lbrac c = \item(3,\\aC) \rbrac
\matrix\lbrac R = \pari(print(Mat([&#92;reply1]~))) \rbrac
\text\lbrac m = \rows( \\R) \rbrac </pre>
<div class = "aide">Quelques calculs supplémentaires sont faits ici
utilisant les réponses envoyées. </div><pre class = "cc">
\condition\lbrac Les vecteurs que vous avez donnés appartiennent tous à  l'image \rbrac 
    \lbrac \\a = \\b \rbrac
\condition\lbrac Les vecteurs que vous avez donnés sont linéairement indépendants \rbrac 
    \lbrac \\m = \\c \rbrac
\condition\lbrac Les vecteurs que vous avez donnés forment une base de l'image \rbrac 
    \lbrac \\a = \\b <tt class="op">and</tt> \\c = \\b <tt class="op">and</tt> \\m = \\c \rbrac </pre>
 <div class = "aide">On a testé les vecteurs qui ont été donnés
car il n'y a pas une seule réponse.
Pour chaque condition testée, on a précisé ce qui était vérifié.
C'est important pour l'élève. </div><pre class = "cc">
</pre><div class = "aide">Dans le test des conditions, on peut utiliser
des opérateurs logiques : <tt class="op">and</tt> et <tt class="op">or</tt> en particulier </div><pre class = "cc">
\matrix\lbrac D = \pari(matimage(Mat([&#92;B]))) \rbrac </pre>
<div class = "aide">Utilisation du logiciel GP/pari. </div><pre class = "cc">
\feedback\lbrac \\a &lt;> \\b <tt class="op">or</tt> \\c &lt;>\\b <tt class="op">or</tt> \\m &lt;> \\c \rbrac\lbrac 
     Le rang de &#92;(f) est \\b. Une base de l'image 
     est &#92;([\\D]) \rbrac </pre>
     <div class = "aide">Un vrai feedback </div><pre class = "cc">
</pre>
\exercise{cmd=new&module=U1/algebra/oeflinapp.fr&exo=baseimage}{L'exercice}
