  !header
  !set email=$responsable_math_bts
<h1 class="program_head">Niveau math.bts
<br><font size="-1">
!href module=help/teacher/program.fr Autres niveaux
<br>(en cours de réalisation)
!!!href module= Toutes les ressources
</font>
</h1>
<div class="program_head">
<p class="program_petit">Tableau indicatif, sans garantie de conformité
au programme officiel <br>(dernière mise à jour :  2003-12-19)</p>
<p class="program_petit">Dernière mise à jour des exercices WIMS : 
2004-09-01</p>
</div>
<ul>
<li><a href="#0">Nombres complexes 1</a>

<ul><li><a href="#1"> Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#2">Nombres complexes 2</a>

<ul><li><a href="#3">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#4">Suites numériques 1</a>

<ul><li><a href="#5">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#6">Suites numériques 2</a>

<ul><li><a href="#7">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#8">Fonctions d'une variable réelle</a>
<li><a href="#9">Calcul différentiel et intégral 1</a>

<ul><li><a href="#10">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#11">Calcul différentiel et intégral 2 et 3</a>

<ul><li><a href="#12">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#13">Séries numériques et séries de Fourier</a>

<ul><li><a href="#14">Séries numériques</a>
<li><a href="#15">Séries absolument convergentes.</a>
<li><a href="#16">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#17">Analyse spectrale : transformation de Laplace</a>

<ul><li><a href="#18">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#19">Analyse spectrale : transformation en Z</a>

<ul><li><a href="#20">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#21">Equations différentielles</a>

<ul><li><a href="#22">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#23">Fonctions de deux ou trois variables réelles</a>
<li><a href="#24">Analyse des phénomènes exponentiels</a>
<li><a href="#25">Calcul différentiel et intégral</a>

<ul><li><a href="#26">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#27">Modélisation géométrique 1</a>

<ul><li><a href="#28"> Modèle de Bézier</a>
<li><a href="#29">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#30">Modélisation géométrique 2</a>

<ul><li><a href="#31">Modèle de Bézier</a>
<li><a href="#32">Modèle B-Spline</a>
<li><a href="#33">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#34">Calcul matriciel</a>

<ul><li><a href="#35">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#36">Algèbre linéaire</a>

<ul><li><a href="#37">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#38">Statistique descriptive</a>

<ul><li><a href="#39">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#40">Calcul des probabilités 1</a>

<ul><li><a href="#41">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#42">Calcul des probabilités 2</a>
<li><a href="#43">Statistique inférentielle</a>

<ul><li><a href="#44">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#45">Fiabilité</a>

<ul><li><a href="#46">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#47">Plans d'expérience</a>

<ul><li><a href="#48"></a>
<li><a href="#49">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#50">Calcul Vectoriel</a>
<li><a href="#51">Configurations géométriques</a>
</ul><br>

<table border=1><tr>
<th bgcolor="#FF9900">Connaissances</th>
<th width="40%"bgcolor="#FFC066">Capacités</th></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="0"></a><div class="program_theme">Nombres complexes 1</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Dans cette brève étude, on insistera sur l'intervention des nombres
complexes en analyse (résolution d'équations différentielles) et
sur leur utilisation en électricité et en électronique.

Sommes a + i b telles que i<sup>2</sup> = -1 : égalité, somme,
produit, conjugué, inverse.
Représentation géométrique.
Lignes de niveau des fonctions z ->  re(z) et z -> im(z).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La construction de C n'est pas au programme.
Les étudiants doivent connaître la notation x + j y, utilisée en
électricité.
Aucune connaissance sur les applications des nombres
complexes à la géométrie n'est exigible dans le cadre du
programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=H5/algebra/quizcomplex.fr&exo=arg&+cmd=new  Argument
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H5/algebra/quizcomplex.fr&exo=argask&+cmd=new  Argument demandé
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H5/algebra/quizcomplex.fr&exo=arggiven&+cmd=new  Argument donné
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H5/algebra/quizcomplex.fr&exo=conj&+cmd=new  Conjugué
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H5/algebra/quizcomplex.fr&exo=module&+cmd=new  Module
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H5/algebra/quizcomplex.fr&exo=reim&+cmd=new  Re et Im
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Nombres complexes 1 [Champs des activités]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Module d'un nombre complexe ; argument d'un nombre
complexe non nul.
Notation e<sup>i theta</sup> ; forme trigonométrique z= r e<sup>i theta</sup> où
r &gt; 0.
Lignes de niveau des fonctions z -> |z - a|  et z -> Arg (z - a).
Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique et
inversement.
Relation e<sup>i theta</sup>e<sup>i theta'</sup>=e<sup>i theta+theta'</sup> ;
lien avec les formules d'addition.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Le repérage polaire r e<sup>i theta</sup>, où r est de signe
quelconque, est
hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=Trianglequilat&+cmd=new  Triangle équilatéral
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=argask&+cmd=new  Argument demandé
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=arggiven&+cmd=new  Argument donné
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=argsum&+cmd=new  Argument de somme
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=cbrt&+cmd=new  CBRT
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=cubrt&+cmd=new  Racine cubique
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=eqmod&+cmd=new  Equation avec module
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=fraction&+cmd=new  Fraction
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=fraction2&+cmd=new  Fraction II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=maxmod&+cmd=new  Maximum de module
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=modmax&+cmd=new  Module maximal
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=modsum&+cmd=new  Module de somme
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=modsum2&+cmd=new  Module de somme II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=pentaroot&+cmd=new  Pentaroot
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=powerconj&+cmd=new  Puissance conjuguée
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=pythagorus&+cmd=new  Pythagore
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=pythagorus2&+cmd=new  Pythagore II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=quadouble&+cmd=new  Quadratique racine double
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=quadouble2&+cmd=new  Quadratique racine double II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=quadpoly&+cmd=new  Racines d'un polynôme quadratique
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=rootcoef&+cmd=new  Racine et coefficients
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=sqrt&+cmd=new  Racine carrée
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=suminv&+cmd=new  Somme avec inverse
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=sumofi&+cmd=new  Somme de i
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=sumofj&+cmd=new  Somme de j
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=sumroot&+cmd=new  Somme de racines d'unité
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=tworoots&+cmd=new  Deux Racines
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=tworoots2&+cmd=new  Deux Racines II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Nombres complexes 1 [Champs des activités]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Formule de Moivre. Formules d'Euler.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=H6/algebra/doccomplex.fr&exo=&+cmd=intro  Nombres complexes
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Nombres complexes 1 [Champs des activités]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="1"></a><div class="program_titre"> Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de mise en oeuvre des formules de Moivre et
d'Euler : linéarisation de polynômes trigonométriques.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Cette activité est à mener en liaison avec l'enseignement des
sciences physiques ; toute virtuosité en ce domaine est exclue ;
aucune connaissance à ce sujet n'est exigible dans le cadre du
programme de mathématiques et toutes les indications utiles
doivent être fournies.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/algebra/doccomplex.fr&exo=&+cmd=intro  Doc Nombres complexes
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Nombres complexes 1 [ Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Résolution des équations du second degré à coefficients
réels.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La résolution d'équations à coefficients complexes et l'étude des
racines nièmes d'un nombre complexe sont hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Nombres complexes 1 [ Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="2"></a><div class="program_theme">Nombres complexes 2</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Les premiers éléments de l'étude des nombres complexes ont été mis en
place en première et terminale technologique, en liaison
avec l'enseignement des sciences physiques. Les objectifs sont de mettre en
oeuvre et de compléter cet acquis, d'une part pour fournir
des outils qui sont utilisés en électricité, en mécanique et en automatique,
d'autre part pour mettre en évidence les interprétations
géométriques et les interventions des nombres complexes en analyse : fonctions à
valeurs complexes et représentations géométriques
associées, calcul intégral, résolution d'équations différentielles.

Forme algébrique z = x + i y.
Représentation géométrique.
Lignes de niveau des fonctions z -> re(z) et z -> im(z).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La construction de C n'est pas au programme.
Les étudiants doivent connaître la notation z = x + j y, utilisée
en électricité.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Nombres complexes 2 [ Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Module d'un nombre complexe ; argument d'un nombre
complexe non nul.
Notation e<sup>i theta</sup> ; forme trigonométrique z = re<sup>i theta</sup> où
r &gt; 0.
Lignes de niveau des fonctions z -> |z - a|  et ) (Arg z -> |z - a|.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Le repérage polaire r e<sup>i theta</sup>, où r est de signe
quelconque, est
hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Nombres complexes 2 [ Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Formule de Moivre. Formules d'Euler.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Nombres complexes 2 [ Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Transformations élémentaires : translation associée à
z -> z + b, similitude directe associée à z -> a z , symétrie
associée à z -> bar(z) , inversion complexe associée à 1/z.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se bornera à l'étude de l'image d'une droite ou d'un cercle et
à la conservation de l'orthogonalité.
Pour l'inversion complexe, les cercles considérés passent par
l'origine ; l'inversion géométrique est hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Nombres complexes 2 [ Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="3"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Linéarisation de polynômes trigonométriques.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Dans le cas d'un exposant supérieur ou égal à 4, le résultat sera
obtenu à l'aide d'un logiciel de calcul formel.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Nombres complexes 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Résolution des équations du second degré à coefficients
complexes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'étude systématique des racines  n-ièmes  d'un nombre
complexe est hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Nombres complexes 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'étude de transformations associées à
z -> az + b ou z-> (az + b)/(cz + d).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On donnera les indications permettant de ramener l'étude de
telles transformations à une succession de transformations
élémentaires figurant au programme. On se bornera aux images
de droites (ou de parties de droite) ou de cercles (ou d'arcs de
cercle).
On pourra faire le lien avec certains diagrammes de Nyquist
utilisés en électronique.
On pourra également être amené à étudier d'autres exemples
simples de transformations, telles que celles associées à z -> z<sup>2</sup>
ou à (z+1/z)/2, en mettant en place les familles de
courbes orthogonales associées ; mais aucune connaissance à ce
sujet n'est exigible dans le cadre du programme de
mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Nombres complexes 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="4"></a><div class="program_theme">Suites numériques 1</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Les suites sont un outil indispensable pour l'étude des "phénomènes
discrets", et c'est à ce titre qu'elles font l'objet d'une initiation.
Aucune difficulté théorique ne doit être soulevée à leur propos.
Le programme se place dans le cadre des suites définies pour tout entier naturel
ou pour tout entier naturel non nul.
Comportement global : suites croissantes, suites
décroissantes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Suites numériques 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Langage des limites :
Limite des suites de terme général n, n<sup>2</sup>, n<sup>3</sup> , sqrt(n).
Limite des suites de terme général
1/n, 1/n<sup>2</sup>, 1/n<sup>3</sup> , 1/sqrt(n)
Introduction du symbole lim<sub>n->+oo</sub> u<sub>n</sub>
Si une fonction f admet une limite l en +infini, alors la suite
u<sub>n</sub> = f(n) converge vers l.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'étude des limites par (A, N) et par (epsilon,N) est hors
programme.
L'étude des suites de référence ci-contre et, plus largement,
des suites u<sub>n</sub> = f(n) est à mener en liaison étroite avec celle
des fonctions correspondantes.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Suites numériques 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Énoncés usuels sur les limites (admis).
Comparaison, compatibilité avec l'ordre.
Somme, produit, quotient.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Ces énoncés sont calqués sur ceux relatifs aux fonctions. Il
n'y a pas lieu de s'attarder à leur présentation : l'objectif est
d'apprendre aux étudiants à les mettre en oeuvre sur des
exemples simples.
Limite et comportements asymptotiques comparés des suites
(ln n) ; a<sup>n</sup>, a réel strictement positif ; n<sup>p</sup>, p entier.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Suites numériques 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="5"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'étude de situations relevant de suites
arithmétiques ou géométriques.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On privilégiera les situations issues de la vie économique et
sociale ou de la technologie.
Mis à part le cas des suites arithmétiques ou géométriques,
l'étude d'une suite définie par son premier terme et une relation
de récurrence u<sub>n+1</sub>=f(u<sub>n</sub>) est hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Suites numériques 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'étude du comportement de suites de la forme
u<sub>n</sub> = f(n) (encadrement, monotonie, limite).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera à des cas simples.
Il s'agit notamment de pouvoir étudier et comparer, sur certains
modèles mathématiques, la tendance à long terme d'un
phénomène.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=2lim&+cmd=new  Deux limites
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=comp&+cmd=new  Comparaison de suites
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=crborn&+cmd=new  Croissance et borne
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=cvdiff&+cmd=new  Convergence et différence de termes
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=cvratio&+cmd=new  Convergence et rapport de termes
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=epsilon&+cmd=new  Epsilon
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=frac2&+cmd=new  Fraction 2 termes
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=frac3&+cmd=new  Fraction 3 termes
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=frac3b&+cmd=new  Fraction 3 termes II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=growthcomp&+cmd=new  Comparaison de croissance
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=limtrig&+cmd=new  Limites : fonctions trigonométriques
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=monotony&+cmd=new  Monotonie I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=monotony2&+cmd=new  Monotonie II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=pow&+cmd=new  Puissances I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=pow2&+cmd=new  Puissances II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=recfn&+cmd=new  Fonction de récurrence
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=reclim&+cmd=new  Limite récurrente
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=tool/analysis/animseq.fr&exo=&+cmd=intro  Suites animées
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Suites numériques 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="6"></a><div class="program_theme">Suites numériques 2</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Comportement global : suites croissantes, suites
décroissantes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p> Les suites sont un outil indispensable pour l'étude des "phénomènes
discrets", et c'est à ce titre qu'elles font l'objet d'une initiation.
Aucune difficulté théorique ne doit être soulevée à leur propos.
Le programme se place dans le cadre des suites définies pour tout entier naturel
ou pour tout entier naturel non nul.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Suites numériques 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Énoncés usuels sur les limites (admis).
Comparaison, compatibilité avec l'ordre.
Somme, produit, quotient.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Il s'agit d'un prolongement de l'étude d'une suite pour les
grandes valeurs de n, amorcée en terminale technologique.
L'étude des limites par (A, N) et par (epsilon,N) est hors
programme.
Ces énoncés sont calqués sur ceux relatifs aux fonctions. Il
n'y a pas lieu de s'attarder à leur présentation : l'objectif est
d'apprendre aux étudiants à les mettre en oeuvre sur des
exemples simples.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Suites numériques 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Limite et comportements asymptotiques comparés des suites
(ln n) ; a<sup>n</sup>, a réel strictement positif ; n<sup>p</sup>, p entier.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Suites numériques 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="7"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'étude de situations relevant de suites arithmétiques
ou géométriques.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On privilégiera les situations issues de la vie économique et
sociale ou de la technologie.
Dans le cas de l'approximation d'une solution d'une
équation, on pourra être amené à définir une suite par son
premier terme et une relation de récurrence u<sub>n+1</sub>=f(u<sub>n</sub>) ;
mis à part le cas des suites arithmétiques ou géométriques,
aucune connaissance sur de telles suites n'est exigible dans le
cadre du programme de mathématiques, et toutes les
indications nécessaires doivent être fournies.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Suites numériques 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'étude du comportement de suites de la forme
u<sub>n</sub> = f(n) (encadrement, monotonie, limite).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera à des cas simples.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=tool/analysis/animseq.fr&exo=&+cmd=intro  Suites animées
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Suites numériques 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'étude de suites définies par une relation de la forme
u<sub>n+2</sub> = a u<sub>n+1</sub> +b u<sub>n</sub> et leurs deux premiers
termes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'étude de ce type de suite a pour objectif de préparer la
résolution, à l'aide de la transformation en Z, de certaines
équations aux différences.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Suites numériques 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="8"></a><div class="program_theme">Fonctions d'une variable réelle</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Le champ des fonctions étudiées se limite aux fonctions
usuelles suivantes :</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se place dans le cadre des fonctions à valeurs réelles ou complexes,
définies sur un intervalle de R, qui servent à modéliser
mathématiquement des "phénomènes continus". Les étudiants devront savoir traiter
les situations qui se prêtent à une telle
modélisation.
On consolidera les acquis sur les fonctions en tenant compte, notamment sur les
limites, des programmes de mathématiques suivis
antérieurement par les étudiants.
Ce module de programme énumère les fonctions intervenant dans les autres modules
d'analyse, modules où figurent les rubriques de
travaux pratiques concernant ces fonctions.
En particulier dans l'ensemble de ces modules, on utilisera largement les moyens
informatiques (calculatrice, ordinateur), qui
permettent notamment de faciliter la compréhension d'un concept ou d'une méthode
en l'illustrant graphiquement, numériquement
ou dans un contexte lié à la spécialité considérée, sans être limité par
d'éventuelles difficultés techniques.
Les calculs à la main, nécessaires pour développer la maîtrise des méthodes
figurant au programme, ont leur cadre défini dans les
rubriques de travaux pratiques, le plus souvent dans la colonne de commentaires.

Les représentations graphiques doivent jouer un rôle
important.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Fonctions d'une variable réelle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Fonctions en escalier, fonctions affines par morceaux,
fonction exponentielle t -> exp t  ou t -> e<sup>t</sup> , fonction
logarithme népérien t -> ln t , fonctions puissances t -> t<sup>a</sup>  où
a dans R, fonctions circulaires, fonctions qui se déduisent de
façon simple des précédentes par opérations algébriques ou par
composition.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Selon les besoins des autres disciplines (chimie,
acoustique, ...), on pourra mentionner la fonction logarithme
décimal x -> log x , mais aucune connaissance à ce sujet
n'est exigible dans le cadre du programme de
mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Fonctions d'une variable réelle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Comparaison des fonctions exponentielle, puissances et
logarithme au voisinage de +infini.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Fonctions d'une variable réelle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Fonctions circulaires réciproques ; on donnera leurs
dérivées.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La dérivabilité de ces fonctions sera admise.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Fonctions d'une variable réelle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Fonctions t -> e<sup>it</sup> et t -> e<sup>at</sup> avec a dans C.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Fonctions d'une variable réelle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="9"></a><div class="program_theme">Calcul différentiel et intégral 1</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Primitives
Définition. Deux primitives d'une même fonction diffèrent
d'une constante.
Primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau
des dérivées ; primitives des fonctions de la forme
x -> g'(ax + b), (exp g)g' et g<sup>a</sup> g' où a < &gt; -1,
g'/g où g est à
valeurs strictement positives.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Le programme se place dans le cadre de fonctions à valeurs réelles
définies et régulières (c'est-à-dire admettant des dérivées à un
ordre quelconque) sur un intervalle I de R.
Il n'y a pas lieu de reprendre la présentation du concept de dérivée. On
s'assurera que les étudiants connaissent les interprétations
géométrique et cinématique de la dérivée en un point.
On consolidera et on approfondira les acquis de terminale technologique sur la
pratique du calcul des dérivées.
Dans le cas de deux variables t et x liées par une relation fonctionnelle x =
f(t), on introduira la notation différentielle
df = f'(t) dt ; on donnera son interprétation graphique et on montrera l'intérêt
de la différentielle pour les problèmes
d'approximation. Aucune difficulté ne doit être soulevée sur le statut
mathématique de la notion de différentielle.
Le concept d'intégrale sera introduit sans soulever de problème théorique.

L'existence des primitives est admise.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Intégrale
Étant donné f et un couple (a, b) de points de I, le nombre
F(b) - F(a), où F est une primitive de f, est indépendant du
choix de F. On l'appelle intégrale de a à b de f et on le note
int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t) dt.
Dans le cadre de fonctions positives, interprétation graphique
de l'intégrale à l'aide d'une aire.
Étant donné un point a de I, la fonction x -> int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t)
dt est
l'unique primitive de f sur I prenant la valeur zéro au point a.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Aucune théorie sur la notion d'aire n'est au programme. On
admettra son existence et ses propriétés élémentaires.
Les étudiants doivent connaître l'aire des domaines usuels :
rectangle, triangle, trapèze.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Propriétés de l'intégrale :
<ul><li> Relation de Chasles.
</li><li>Linéarité.
</li><li>Positivité : si a &lt; b et f' &gt; 0, alors int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t)
dt >=0
;
intégration d'une inégalité.
</li><li>Inégalité de la moyenne : si a &lt; b et m <= f' <= M,
alors m(b - a) <= int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t) dt <= M(b - a)
</li></ul></td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
Il conviendra d'interpréter, chaque fois qu'il est possible, les
propriétés de l'intégrale en termes d'aire.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="10"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'emploi du calcul différentiel pour la recherche
d'extremums, l'étude du sens de variation et le tracé des
représentations graphiques des fonctions.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les exemples seront issus, le plus souvent possible, de l'étude
de phénomènes rencontrés en sciences physiques, en biologie,
en économie ou en technologie.
On se limitera aux situations qui se ramènent au cas des
fonctions d'une seule variable.
Pour la détermination d'une fonction, on pourra être amené à
résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss.
Il convient de ne pas abuser des problèmes centrés sur l'étude
traditionnelle de fonctions définies par une formule donnée a
priori, dont on demande de tracer la courbe représentative.
Toute étude de branche infinie, notamment la mise en évidence
d'asymptote, devra comporter des indications sur la méthode à
suivre.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/algebra/visgauss.fr&exo=&+cmd=intro  Gauss visuel
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de calcul d'intégrales à l'aide de primitives.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les étudiants doivent savoir reconnaître si un exemple donné
de fonction est de l'une des formes figurant au programme.
Mis à part le cas de primitives de la forme précédente, tout
calcul de primitive devra comporter des indications sur la
méthode à suivre.
On pourra montrer l'intérêt d'exploiter les propriétés des
fonctions périodiques, des fonctions paires et des fonctions
impaires, mais toute formule de changement de variable est
hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/analysis/quizint.fr&exo=basic&+cmd=new  Intégration de base
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/quizint.fr&exo=poly2&+cmd=new  Polynôme de degré 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/quizint.fr&exo=poly3&+cmd=new  Polynôme de degré 3
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/quizint.fr&exo=sincos1&+cmd=new  sin et cos I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/quizint.fr&exo=sincos2&+cmd=new  sin et cos II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de calcul d'aires, de volumes, de valeurs
moyennes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On pourra aussi, selon la spécialité, proposer des exemples de
détermination de centres d'inertie, de calcul de moments
d'inertie et de calcul de valeurs efficaces.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de mise en oeuvre d'algorithmes d'approximation
d'une intégrale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'objectif est de familiariser les étudiants à un certain
savoir-faire
concernant quelques méthodes élémentaires (point-milieu,
trapèzes), mais aucune connaissance sur ces méthodes n'est
exigible dans le cadre du programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=approxint1&+cmd=new  Intégrale numérique (Riemann)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=approxint2&+cmd=new  Intégrale numérique (rectangles)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=approxint3&+cmd=new  Intégrale numérique (rectangles) 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=errtrapeze1&+cmd=new  Erreur bornée trapèze I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=errtrapeze2&+cmd=new  Erreur bornée trapèze II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=intnumadap&+cmd=new  Intégration numérique adaptée
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=median&+cmd=new  Intégrale numérique (point médian)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=trapetape&+cmd=new  Intégration numérique, erreur
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=trapeze&+cmd=new  Intégration numérique (trapèze)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=trapeze0&+cmd=new  Trapèze basique
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=trapeze1&+cmd=new  Trapèze et erreur I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=trapeze2&+cmd=new  Trapèze et erreur II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=trapezecadre&+cmd=new  Trapèze encadré
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=trapezeintru&+cmd=new  Trapèze avec intrus
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=trapmed2&+cmd=new  Intégration numérique, erreur II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="11"></a><div class="program_theme">Calcul différentiel et intégral 2 et 3</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Étant donné f et un couple (a, b) de points de I, le nombre
F(b) - F(a), où F est une primitive de f, est indépendant du
choix de F. On l'appelle intégrale de a à b de f et on le note
int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t) dt.
Étant donné un point a de I, la fonction x -> int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t)
dt est
l'unique primitive de f sur I prenant la valeur zéro au point a.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Propriétés de l'intégrale :
<ul><li> Relation de Chasles.
</li><li>Linéarité.
</li><li>Positivité : si a &lt; b et f' &gt; 0, alors int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t)
dt >=0 ;

intégration d'une inégalité.
|int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t) dt | <= int<sub>a</sub><sup>b</sup> |f(t)| dt
</li></ul></td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
Il conviendra d'interpréter, chaque fois qu'il est possible, ces
propriétés en termes d'aire.On ne soulèvera aucune difficulté théorique à propos
de
l'existence de l'intégrale int<sub>a</sub><sup>b</sup>| f (t)|dt.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>
Inégalité de la moyenne : si a &lt; b et m <= f' <= M,
alors m(b - a) <= int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t) dt <= M(b - a)

de même, si a <= b et si |f'| &lt; k, alors |f(b) - f(a)| <= k| b - a|.

Inégalité des accroissements finis :
si a &lt; b et si |f'| &lt; k, alors |f(b) - f(a)| <= k| b - a|.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les théorèmes d'existence (théorème de Rolle, formule des
accroissements finis) et la formule de Taylor sont hors
programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Intégration par parties.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Intégration par changement de variable.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On s'appuiera sur les exemples t -> t + b et t -> a t , où a et b
sont des nombres réels, qui donnent lieu à une interprétation
graphique, pour présenter sans justification théorique d'autres
cas où le changement de variable est donné.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Illustration de l'emploi du calcul intégral pour l'obtention
de majorations et d'encadrements, à l'aide d'exemples.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera à des exemples très simples et des indications
pour l'encadrement de la fonction à intégrer devront être
fournies.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Emploi de majorations tayloriennes pour l'obtention du
développement limité au voisinage de 0 de la fonction
t -> exp t.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Le résultat sera démontré, jusqu'à l'ordre 3.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Développements limités des fonctions : t -> ln(1+ t) t -> (1 +
t)<sup>a</sup> où a dans R, t -> sin t  et t -> cos t.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Ces résultats seront admis.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Dérivée et primitives d'une fonction à valeurs complexes. Pour ces
notions, on se limitera aux fonctions t -> e<sup>at</sup> ,
avec a dans C.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="12"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'emploi du calcul différentiel pour la recherche
d'extremums, l'étude du sens de variation et le tracé des
représentations graphiques des fonctions.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les exemples seront issus, le plus souvent possible, de l'étude
de phénomènes rencontrés en sciences physiques, en biologie,
en économie ou en technologie.
On se limitera aux situations qui se ramènent au cas des
fonctions d'une seule variable.
Pour la détermination d'une fonction, on pourra être amené à
résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss.
Il convient de ne pas abuser des problèmes centrés sur l'étude
traditionnelle de fonctions définies par une formule donnée a
priori, dont on demande de tracer la courbe représentative.
Toute étude sur le comportement asymptotique d'une fonction
devra comporter des indications sur la méthode à suivre.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de tracé de courbes planes définies par une
représentation paramétrique x = f(t), y = g(t).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On privilégiera les exemples liés aux autres enseignements
(mouvement d'un point, signaux électriques, modélisation
géométrique, ... ).
Les étudiants doivent savoir déterminer la tangente en un point
où le vecteur dérivé n'est pas nul.
Aucune connaissance sur l'étude des points singuliers et des
branches infinies n'est exigible dans le cadre du programme de
mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples simples d'emploi des développements limités
pour l'étude locale des fonctions.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les étudiants doivent savoir utiliser, sur des exemples simples
de développements limités, les opérations addition,
multiplication et intégration.
Pour la composition, des indications sur la méthode à suivre
devront être fournies.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de recherche des solutions d'une équation
numérique, et de mise en oeuvre d'algorithmes d'approximation
d'une solution à l'aide de suites.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Sur des exemples, on mettra en oeuvre quelques méthodes
classiques : dichotomie, méthode de la corde (Lagrange),
méthode de la tangente (Newton).
Aucune connaissance spécifique sur celles-ci n'est exigible dans
le cadre du programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Calcul d'une primitive figurant au formulaire officiel ou s'en
déduisant par un changement de variable du type t -> t + b et
t -> a t .</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On pourra montrer l'intérêt d'exploiter dans le calcul intégral
les propriétés des fonctions périodiques, des fonctions paires et
des fonctions impaires.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Calcul d'une primitive d'une fonction rationnelle dans le cas
de pôles simples.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Dans le cas où il y a des pôles multiples, des indications
doivent être données sur la méthode à suivre.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Calcul d'une primitive d'une fonction exponentielle-polynôme
(de la forme (t -> e<sup>at</sup>P(t)  où a est un nombre
complexe et où P est un polynôme).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les étudiants devront savoir traiter les cas qui s'y ramènent
simplement par linéarisation.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de calcul d'intégrales.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Tout excès de technicité est à éviter pour le calcul des
primitives.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de calcul d'aires, de volumes, de valeurs
moyennes, de valeurs efficaces.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On pourra aussi, selon la spécialité, proposer des exemples de
détermination de centres d'inertie et de calcul de moments
d'inertie.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de mise en oeuvre d'algorithmes
d'approximation d'une intégrale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'objectif est de familiariser les étudiants avec quelques
méthodes élémentaires (point-milieu, trapèzes), mais aucune
connaissance sur ces méthodes n'est exigible dans le cadre du
programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="13"></a><div class="program_theme">Séries numériques et séries de Fourier</div>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="14"></a><div class="program_titre">Séries numériques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Définition de la convergence d'une série à termes réels.
Convergence des séries géométriques.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'étude de séries numériques très simples, préalable à l'étude des séries
de Fourier, a pour objectif de permettre aux étudiants de se
familiariser avec les "sommes infinies" et la notation sigma. La plupart des
résultats relatifs aux séries numériques pourront être admis et
ne feront l'objet d'aucun développement théorique.
La décomposition de signaux périodiques en séries de Fourier est un outil
indispensable pour l'étude des phénomènes vibratoires en
électricité, en optique ou en mécanique.

L'étude des sommes partielles d'une suite géométrique permet
d'introduire la convergence et la divergence des séries
numériques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Séries numériques et séries de Fourier [Séries numériques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Séries à termes positifs.
Convergence des séries de Riemann.
Comparaison de deux séries dans le cas où u<sub>n</sub> &lt; v<sub>n</sub>.
Comparaison de deux séries dans le cas où u<sub>n</sub>  tilde v<sub>n</sub>.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La définition de deux suites équivalentes sera introduite à cette
occasion mais cette notion ne fera l'objet d'aucun
développement théorique.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Séries numériques et séries de Fourier [Séries numériques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Règle de d'Alembert.
 Convergence d'une série alternée dont la valeur absolue du
terme général décroît et tend vers 0.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefseries.fr&exo=cauchyalemb&+cmd=new  Critères de d'Alembert et de Cauchy
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefseries.fr&exo=devserie&+cmd=new  Développement en série entière
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefseries.fr&exo=eqdiff1&+cmd=new  Equations différentielles 1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefseries.fr&exo=eqdiff2&+cmd=new  Equations différentielles 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefseries.fr&exo=rayon&+cmd=new  Rayon de convergence
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefseries.fr&exo=rayon2&+cmd=new  Rayon de convergence 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefseries.fr&exo=series&+cmd=new  Séries entières (comparaison)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefseries.fr&exo=series2&+cmd=new  Rayon de convergence (séries entières)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefseries.fr&exo=series3&+cmd=new  Séries entières (rayon de convergence)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Séries numériques et séries de Fourier [Séries numériques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="15"></a><div class="program_titre">Séries absolument convergentes.</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Séries de Fourier.
Coefficients de Fourier d'une fonction T-périodique
continue par morceaux et série de Fourier d'une telle fonction.
Forme en cos(n omega t) et sin(n omega t) et forme exponentielle
exp(i n omega t).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>En liaison avec l'enseignement des sciences physiques, il
conviendra de mettre en valeur le lien entre ces notions et
l'étude des signaux : composantes d'un signal dans une
fréquence donnée, reconstitution du signal à partir de ses
composantes.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=addfourier1&+cmd=new  Addition Fourier (amplitudes proches)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=addfourier2&+cmd=new  Addition Fourier (amplitudes diff.)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=addfourier3&+cmd=new  Addition Fourier en phase
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=addfourier4&+cmd=new  Addition Fourier (en phase ?) 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=croiss&+cmd=new  Ordre de décroissance
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=fourier&+cmd=new  Reconnaissance de graphes
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=fourierhom&+cmd=new  Fourier : homothétie
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=fourierparite&+cmd=new  Fourier : parité
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=fouriertransl&+cmd=new  Fourier : translation
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=pertubfourier&+cmd=new  Reconnaissance de graphes (période)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=sincosfourier&+cmd=new  Représentation de fonctions périodiques
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=spectrecreneau&+cmd=new  Spectre de Fourier créneau
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=spectretriangle&+cmd=new  Spectre de Fourier (triangle)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Séries numériques et séries de Fourier [Séries absolument convergentes.]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Convergence (admise) lorsque f est de classe C<sup>1</sup> par
morceaux (conditions de Dirichlet).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Séries numériques et séries de Fourier [Séries absolument convergentes.]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Formule de Parseval (admise) donnant int<sub>0</sub><sup>T</sup>
|f(t)|<sup>2</sup> dt (en
fonction des coefficients de Fourier, lorsque f est continue par
morceaux.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La formule de Parseval est à mettre en relation avec le calcul de
l'énergie à partir des composantes.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Séries numériques et séries de Fourier [Séries absolument convergentes.]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="16"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples simples d'étude de séries numériques.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Tout excès de technicité est à éviter.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Séries numériques et séries de Fourier [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Recherche de développements en série de Fourier de
fonctions périodiques.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera à des exemples simples et on exploitera des
situations issues de l'électricité, de l'électronique ou de la
mécanique.
Aucune difficulté ne doit être soulevée sur la convergence des
séries de Fourier en dehors des hypothèses indiquées par le
programme.
Toutes les indications utiles pour la vérification des conditions
de Dirichlet seront données.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Séries numériques et séries de Fourier [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Utilisation du développement en série de Fourier d'une
fonction périodique pour calculer la somme d'une série
numérique.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Séries numériques et séries de Fourier [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="17"></a><div class="program_theme">Analyse spectrale : transformation de Laplace</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Transformation de Laplace :
On donnera quelques notions sur les intégrales impropres, en
particulier sur la convergence d'une intégrale de la forme
int<sub>a</sub><sup>+oo</sup> g(t) dt.
Définition de la transformation de Laplace :
Lf(p)= int<sub>0</sub><sup>+oo</sup> f(t) e<sup> -pt</sup> dt, où p est dans R.
L'étude de la convergence des intégrales impropres données
a priori n'est pas un objectif de la formation.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Ce module sera étudié en liaison étroite avec les enseignements des
autres disciplines. Le programme se borne à la transformation de Laplace des
fonctions nulles sur ]-oo, 0[ (fonctions causales). Dans le cas d'une
fonction définie sur R, on transforme donc la fonction t -> U(t) f(t) , où u
désigne l'échelon unité. On s'intéressera essentiellement aux combinaisons
linéaires à coefficients réels ou complexes de fonctions de la forme
t->U(t-a)e<sup>rt</sup> , où a est un réel positif, n un entier positif et r un
nombre complexe.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Analyse spectrale : transformation de Laplace [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Linéarité.
Transformée de Laplace d'une dérivée et d'une primitive.
Effet d'une translation ou d'un changement d'échelle sur la
variable.
Effet de la multiplication par e<sup>-at</sup>.
Transformée de Laplace des fonctions constantes et des
fonctions exponentielles t -> e<sup>at</sup> , où a est dans C.
Dérivée d'une transformée de Laplace (admis).
Théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale (admis).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>En relation avec l'enseignement de l'électronique et de la
régulation, on indiquera :
que les propriétés de la transformation de Laplace
s'étendent au cas où p est complexe ;
comment l'impulsion unité delta peut être considérée comme
obtenue par passage à la limite de fonctions f<sub>n</sub>, et qu'en
étudiant la limite de L(f<sub>n</sub>) on est amené à dire que
L(delta)= 1.
Toutefois, aucune connaissance sur ces points n'est exigible
dans le cadre du programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Analyse spectrale : transformation de Laplace [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Calcul opérationnel :
Approche des notions de fonctions de transfert et de calcul
opérationnel.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les seules connaissances exigibles sur le calcul
opérationnel portent sur le cas des fonctions rationnelles,
combinées avec un facteur de retard éventuel.
Sur ces exemples, on pourra mettre en évidence
l'importance de la notion de stabilité, mais les critères
généraux de stabilité sont hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Analyse spectrale : transformation de Laplace [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="18"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Recherche de la transformée de Laplace d'une fonction
donnée ou recherche d'une fonction dont la transformée de
Laplace est donnée.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera au cas où les fonctions données ou recherchées
sont des combinaisons linéaires à coefficients réels ou
complexes de fonctions de la forme t ->U(t-a)t<sup>n</sup>e<sup>rt</sup> où a
est un nombre réel positif, n un nombre entier positif et r un
nombre complexe.
On habituera les étudiants à utiliser des transformations
géométriques simples (translation, symétrie orthogonale) et des
propriétés figurant dans le formulaire pour obtenir sans calcul
la transformée d'une fonction donnée ou rechercher une
fonction dont la transformée de Laplace est donnée.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Analyse spectrale : transformation de Laplace [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Résolution à l'aide de la transformation de Laplace des
équations différentielles linéaires d'ordre 1 ou 2 à
coefficients constants.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera pour le second membre aux fonctions du TP 1.
On insistera sur des exemples où la transformée de Laplace
présente un intérêt, par exemple lorsque le second membre est
t -> (t + 1) U(t) - t U(t-1)  ; en revanche il est parfois peu
judicieux de l'utiliser lorsque le second membre est, par
exemple, la fonction t -> (t + 1) U( t).</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Analyse spectrale : transformation de Laplace [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'emploi de la transformation de Laplace
pour la résolution de systèmes différentiels linéaires d'ordre
1 à coefficients constants</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera pour le second membre aux fonctions
exponentielles-polynômes ) (t -> e<sup>at</sup>P(t)  où a est dans C.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Analyse spectrale : transformation de Laplace [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'emploi de la transformation de Laplace
pour la résolution d'équations différentielles du type :
a y'(t) +by(t) +c int<sub>0</sub><sup>t</sup>y(u) du = f(t) où a, b et c sont
des
constantes réelles.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera pour le second membre aux fonctions du TP1.
Dans le cas où a = 0, on fera remarquer que t -> y(t)  peut
présenter des discontinuités.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Analyse spectrale : transformation de Laplace [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="19"></a><div class="program_theme">Analyse spectrale : transformation en Z</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Notions sur les séries entières
Application de la formule de Taylor avec reste intégral pour
l'obtention de développements en séries entières (fonctions
t -> exp t , t -> (1 + t)<sup>a</sup> où a dans R, t -> sin t  et t -> cos t  ).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Ce module sera étudié en liaison étroite avec les enseignements des
autres disciplines, notamment parce que le traitement numérique
du signal et les techniques d'échantillonnage d'un signal analogique (traitement
numérique, restitution analogique) évoluent très
rapidement sous l'impulsion des nouvelles technologies.
Dans ce module, on se propose de familiariser les étudiants aux phénomènes
discrets par la présentation de quelques signaux
discrets et de leur transformation en Z, en se limitant à des signaux causaux.
Cette présentation sera complétée par l'étude de la
réponse à des signaux discrets, de filtres numériques régis par une équation aux
différences linéaires à coefficients constants.
L'introduction des séries entières a pour seul but la présentation des résultats
utiles pour l'étude de la transformation en Z.

La théorie générale des séries entières est hors programme.
L'existence du rayon de convergence est admise</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Analyse spectrale : transformation en Z [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Transformation en Z
Définition de la transformée en Z pour un signal causal :
L(x)(z)= sum<sub>n=0</sub><sup> +oo</sup> x(n) z<sup>-n</sup> où z est dans C et
n dans N.
Transformée des signaux usuels :
n -> 1 ; ) n -> d(n)  (d(0) = 1 et d(n) = 0 si n est différent de 0) ;
n -> n  ; n -> n<sup>2</sup>  ; n -> a<sup>n</sup>  avec a réel non nul.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>En liaison avec les enseignements d'autres disciplines, on
pourra donner la définition de la transformée en Z pour un
signal non causal :
L(x)(z)= sum<sub>-oo</sub><sup> +oo</sup> x(k) z<sup>-k</sup>
où z est dans C et k dans Z ;
mais aucune connaissance à ce sujet n'est exigible dans le
cadre du programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Analyse spectrale : transformation en Z [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Linéarité de la transformation en Z.
Effet de la multiplication par a<sup>n</sup> (a réel non nul).
Effet d'une translation sur la variable pour un signal causal.
Théorème de la valeur initiale pour un signal causal.
Théorème de la valeur finale (admis) pour un signal causal.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>En relation avec les enseignements d'autres disciplines, on
pourra donner la définition du produit de convolution, pour
permettre de définir la notion de fonction de transfert d'un
filtre discret, mais aucune connaissance à ce sujet n'est
exigible dans le cadre du programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Analyse spectrale : transformation en Z [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="20"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples simples de recherche de la transformée en Z d'un
signal discret et de recherche d'un signal dont la transformée en
Z est donnée.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera aux cas où le formulaire officiel permet de
conclure.
Pour la recherche de l'original, on donnera des indications
sur la méthode à utiliser, en particulier sur l'expression à
décomposer en éléments simples.
En utilisant la division des polynômes, on peut écrire
Lx(z) sous forme d'une série de puissances en z<sup>-n</sup>. On
remarquera donc qu'il est aisé de vérifier (ou d'obtenir)
x(n) pour les petites valeurs de n ; les moyens
informatiques permettent de déterminer x(n) pour d'autres
valeurs de n.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Analyse spectrale : transformation en Z [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'emploi de la transformation en Z pour la
résolution d'équations récurrentes du type :
ay(n) + by(n-1) + cy(n-2)= a<sub>1</sub> x(n) + b<sub>1</sub> x(n-1)
ou ay(n+2) + by(n+1) + cy(n)= a<sub>1</sub> x(n+1) + b<sub>1</sub> x(n)
où a, b, c, a<sub>1</sub>, b<sub>1</sub> sont des nombres réels, où x est un
signal
causal discret connu et où y est un signal causal discret
inconnu.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Pour la recherche de l'original, on se référera aux
commentaires du TP1.
En liaison avec les enseignements d'autres disciplines, on
pourra montrer sur des exemples simples comment certaines
de ces équations s'interprètent en terme de "dérivation
discrète et d'intégration discrète", mais aucune
connaissance à ce sujet n'est exigible dans le cadre du
programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Analyse spectrale : transformation en Z [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="21"></a><div class="program_theme">Equations différentielles</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Résolution des équations linéaires du premier ordre
a(t)x'(t) + b(t) x(t) = c(t).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On s'attachera à relier les exemples étudiés avec les enseignements de
physique, mécanique et technologie, en faisant saisir
l'importance de l'étude de phénomènes continus définis par une loi d'évolution
et une condition initiale, et en faisant ressortir la
signification ou l'importance de certains paramètres ou phénomènes : stabilité,
oscillation, amortissement, fréquences propres,
résonance,...

On se placera dans le cas où a, b, c sont des fonctions
dérivables à valeurs réelles et on cherchera les solutions sur
un intervalle où a ne s'annule pas.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1I&+cmd=new  Ordre 1 I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1II&+cmd=new  Ordre 1 II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1III&+cmd=new  Ordre 1 III
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1gnral&+cmd=new  Ordre 1 général
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1homogneI&+cmd=new  Ordre 1 homogène I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1homogneI2&+cmd=new  Ordre 1 homogène II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1homogneg&+cmd=new  Ordre 1 homogène graphique
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1homogneg2&+cmd=new  Ordre 1 homogène général
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Problme1&+cmd=new  Problème 1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Equations différentielles [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Résolution des équations linéaires du second ordre à
coefficients réels constants, dont le second membre est une
fonction exponentielle-polynôme t -> e<sup>at</sup>P(t) , où a dans C.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Equations différentielles [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="22"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Résolution d'équations différentielles linéaires du premier
ordre.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Equations différentielles [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Résolution d'équations différentielles linéaires du second
ordre.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Pour les TP
<ul><li> il s'agit uniquement d'équations différentielles dont le
type est précisé ci-dessus ;</li><li>
 toutes les indications permettant d'obtenir une solution
particulière seront données.
</li></ul></td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=coeff2const1&+cmd=new  Coefficients ordre 2 I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=coeff2const2&+cmd=new  Coefficients ordre 2 II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=coeff2const3&+cmd=new  Coefficients ordre 2 III
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=homegen2ci&+cmd=new  Homogène ordre 2 CI
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=homogen21&+cmd=new  Homogène ordre 2 type I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=homogen22&+cmd=new  Homogène ordre 2 type II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=homogen23&+cmd=new  Homogène ordre 2 type III
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=homogen24&+cmd=new  Homogène ordre 2 type IV
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=homogen2m&+cmd=new  Homogène ordre 2 type mixte
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=homogen2step&+cmd=new  Homogène ordre 2 par étape
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=limsol2&+cmd=new  Limite de solution O2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=polysol1&+cmd=new  Solution polynomiale ordre 1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=polysol2&+cmd=new  Solution polynomiale ordre 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=polysol3&+cmd=new  Solution polynomiale ordre 3
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=rootsol2&+cmd=new  Racines de solution O2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Equations différentielles [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples simples de résolution d'équations différentielles
non linéaires, du premier ordre à variables séparables.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On privilégiera les exemples issus de la cinétique chimique.
Aucune connaissance sur ce TP n'est exigible dans le cadre
du programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/analysis/coinc_eqdif.fr&exo=Coinc_EqDif&+cmd=new  
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/graphode.fr&exo=&+cmd=intro  EDO graphique
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Equations différentielles [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="23"></a><div class="program_theme">Fonctions de deux ou trois variables réelles</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Calcul de dérivées partielles.
Calcul de la dérivée d'une fonction définie par une équation
implicite f(x,y) = 0.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Aucune connaissance sur ce module n'est exigible dans le cadre du
programme de mathématiques ; les notions qu'il contient sont à
étudier en liaison étroite avec l'enseignement de la physique, de la mécanique,
de la technologie ou de l'économie.

On donnera aussi la notation différentielle et son
interprétation en termes d'effet sur la valeur d'une fonction
de petits accroissements des variables.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffonct2.fr&exo=approxlin&+cmd=new  Approximation linéaire
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffonct2.fr&exo=approxlin2&+cmd=new  Approximation linéaire 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffonct2.fr&exo=derpart&+cmd=new  Dérivées partielles 1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffonct2.fr&exo=derpart2&+cmd=new  Dérivées partielles 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffonct2.fr&exo=varboite1&+cmd=new  Variation d'une boîte II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffonct2.fr&exo=varboite2&+cmd=new  Variation d'une boîte II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffonct2.fr&exo=varresist&+cmd=new  Variation de résistances I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Fonctions de deux ou trois variables réelles [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Brèves notions sur le gradient et le laplacien d'une fonction
de trois variables, la divergence et le rotationnel d'un champ de
vecteurs (en dimension trois).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Ces notions interviennent en particulier en
thermodynamique.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefgrad.fr&exo=gradient&+cmd=new  Gradient I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefgrad.fr&exo=gradient2&+cmd=new  Gradient II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefgrad.fr&exo=isoadia&+cmd=new  Isothermes et adiabatiques
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefgrad.fr&exo=pente&+cmd=new  Pente et gradient
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefgreen.fr&exo=champrot&+cmd=new  Champ, rotationnel
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefchamp.fr&exo=graddivrot1&+cmd=new  Divergence, rotationnel, gradient
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefchamp.fr&exo=graddivrot2&+cmd=new  Divergence, rotationnel, gradient 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Fonctions de deux ou trois variables réelles [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples très simples de calcul d'intégrales doubles et
triples en coordonnées cartésiennes ou cylindriques,
éventuellement sphériques.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On admettra tous les résultats utiles.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Fonctions de deux ou trois variables réelles [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="24"></a><div class="program_theme">Analyse des phénomènes exponentiels</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Fonctions d'une variable réelle</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se place dans le cadre des fonctions à valeurs réelles, définies
sur un intervalle de R, qui servent à modéliser mathématiquement
des "phénomènes continus". Les étudiants devront savoir traiter les situations
qui se prêtent à une telle modélisation.
On consolidera les acquis sur les fonctions en tenant compte, notamment sur les
limites, des programmes de mathématiques suivis
antérieurement par les étudiants.
Ce paragraphe énumère les fonctions intervenant notamment en calcul différentiel
et intégral.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Analyse des phénomènes exponentiels [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Le champ des fonctions étudiées se limite aux fonctions
usuelles (fonctions en escalier, fonctions affines par morceaux,
fonction exponentielle t -> exp t  ou t -> e<sup>t</sup> , fonction
logarithme népérien t -> ln t , fonctions puissances t -> t<sup>a</sup>  où
a est dans R) et à celles qui s'en déduisent de façon simple par
opérations algébriques ou par composition.
Comparaison des fonctions exponentielle, puissances et
logarithme au voisinage de +infini.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les représentations graphiques doivent jouer un rôle
important.
On pourra en particulier étudier des fonctions du type
t -> A/(1 + e<sup>a-bt</sup>)
 utilisées pour modéliser certains phénomènes économiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Analyse des phénomènes exponentiels [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="25"></a><div class="program_theme">Calcul différentiel et intégral</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Dérivées et intégrales.
 Étant donné un point a de I et une fonction f dérivable sur I,
la fonction t -> int<sub>a</sub><sup>t</sup> f(t) dt est l'unique primitive de f
sur I
prenant la valeur zéro au point a.
Propriétés de l'intégrale :
Relation de Chasles.
Linéarité.
Positivité : Positivité : si a &lt; b et f' &gt; 0, alors int<sub>a</sub><sup>b</sup>
f(t) dt >=0
;
intégration d'une inégalité.
</ul><li>Inégalité de la moyenne : si a &lt; b et m <= f' <= M,
alors m(b - a) <= int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t) dt <= M(b - a)
</li></ul></td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
Il conviendra d'interpréter, chaque fois qu'il est possible, ces
propriétés en termes d'aire.

 Intégration par parties.

Intégration par changement de variable du type t -> t + b
ou t -> at.
Tout autre changement de variable est hors programme.

Exemples d'emploi du calcul intégral pour l'obtention de
majorations et d'encadrements.
On se limitera à des exemples très simples et des indications
pour l'encadrement de la fonction à intégrer devront être
fournies.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Équations différentielles.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On s'attachera à relier les exemples étudiés avec les enseignements
de l'économie en faisant ressortir l'importance de l'étude de
phénomènes continus définis par une loi d'évolution et une condition initiale.
Résolution des équations linéaires du premier ordre à
coefficients constants a x'(t)+b x(t) = c(t) où a et b sont des
réels et c une fonction dérivable à valeurs réelles.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1I&+cmd=new  Ordre 1 I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1II&+cmd=new  Ordre 1 II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1III&+cmd=new  Ordre 1 III
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1gnral&+cmd=new  Ordre 1 général
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1homogneI&+cmd=new  Ordre 1 homogène I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1homogneI2&+cmd=new  Ordre 1 homogène II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1homogneg&+cmd=new  Ordre 1 homogène graphique
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1homogneg2&+cmd=new  Ordre 1 homogène général
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Problme1&+cmd=new  Problème 1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Notions sur les fonctions numériques de deux variables.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Aucune connaissance sur ce paragraphe n'est exigible dans le cadre du
programme de mathématiques ; les notions qu'il contient
sont à étudier en liaison étroite avec l'enseignement de l'économie et de la
gestion. Elles portent principalement sur le calcul de
dérivées partielles et de la dérivée d'une fonction définie par une équation
implicite f(x,y) = 0. On donnera aussi la notation
différentielle et son interprétation en termes d'effet sur la valeur d'une
fonction de petits accroissements des variables.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Suites arithmétiques et suites géométriques.
Limite d'une suite géométrique k<sup>n</sup>, où k est strictement
positif.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les suites arithmétiques et les suites géométriques sont des outils
indispensables pour l'étude de nombreux phénomènes discrets
intervenant en économie et c'est à ce titre qu'elles font l'objet d'une
consolidation des acquis et d'un approfondissement. Les
suites considérées sont définies pour tout entier naturel.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>
Limite d'une suite géométrique k<sup>n</sup>, où k est strictement
positif.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les énoncés concernant les opérations algébriques étant
entièrement analogues pour les suites et les fonctions, il n'y
a pas lieu de s'attarder au cas des suites ; ainsi, par
exemple, on déduit immédiatement la limite d'une suite (a k<sup>n</sup> + b) où
a, b et k sont des constantes (k &gt; 0), de la
limite de la suite (k<sup>n</sup>).
Il s'agit, sans soulever de difficulté théorique, de pouvoir
étudier et comparer, sur certains modèles mathématiques, la
tendance à long terme d'un phénomène.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="26"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'emploi du calcul différentiel pour la recherche
d'extremums, l'étude du sens de variation et le tracé des
représentations graphiques des fonctions.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les exemples seront issus, le plus souvent possible, de l'étude
de phénomènes rencontrés en économie.
On se limitera aux situations qui se ramènent au cas des
fonctions d'une seule variable.
Pour la détermination d'une fonction, on pourra être amené à
résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss.
Il convient de ne pas abuser des problèmes centrés sur l'étude
traditionnelle de fonctions définies par une formule donnée a
priori, dont on demande de tracer la courbe représentative.
"Toute étude de branche infinie, notamment la mise en
évidence d'asymptote, devra comporter des indications sur la
méthode à suivre."</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de recherche par approximation des solutions
d'une équation numérique.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Sur des exemples, on mettra en oeuvre quelques méthodes
classiques : dichotomie, méthode de la corde (Lagrange),
méthode de la tangente (Newton).
Aucune connaissance spécifique sur celles-ci n'est exigible dans
le cadre du programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de calcul d'intégrales à l'aide de primitives. Les étudiants
doivent savoir reconnaître si un exemple donné
de fonction est de l'une des formes figurant au programme.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Mis à part le cas de primitives de la forme précédente, tout
calcul de primitive devra comporter des indications sur la
méthode à suivre.
On pourra montrer l'intérêt d'exploiter les propriétés des
fonctions périodiques, des fonctions paires et des fonctions
impaires.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de résolution d'équations différentielles linéaires
du premier ordre.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Dans le cas d'un second membre non nul, toutes les indications
permettant d'obtenir une solution particulière seront données.
On insistera sur les exemples intervenant en économie et en
démographie, et notamment sur le cas des phénomènes
exponentiels continus, décrits par une équation du type y' = ay,
où a est constant.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'étude de situations conduisant à des suites
arithmétiques ou géométriques.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On privilégiera les situations issues de la vie économique et
sociale.
En liaison avec l'économie et la gestion, on pourra être amené
à étudier des situations conduisant à des suites définies par leur
premier terme et une relation du type u<sub>n+1</sub> = a u<sub>n</sub> + b ;
mais
toutes les indications utiles devront être fournies pour se
ramener à l'étude d'une suite géométrique.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul différentiel et intégral [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="27"></a><div class="program_theme">Modélisation géométrique 1</div>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="28"></a><div class="program_titre"> Modèle de Bézier</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Présentation du modèle par vecteurs et contraintes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Modélisation géométrique 1 [ Modèle de Bézier]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Présentation du modèle par points de définition et
polynômes de Bernstein.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
Certaines propriétés des polynômes de Bernstein seront
étudiées pour prouver que la courbe de Bezier ne dépend pas
du repère choisi et pour analyser la forme de la courbe.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Modélisation géométrique 1 [ Modèle de Bézier]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Présentation du modèle par une suite de vecteurs.
Construction géométrique d'un point de la courbe.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Modélisation géométrique 1 [ Modèle de Bézier]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="29"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de courbes de Bézier définies par vecteurs et
contraintes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Modélisation géométrique 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de courbes de Bézier définies par points de
définition et polynômes de Bernstein.
On pourra donner des exemples de passage du degré 2 au
degré 3 en utilisant deux fois le point intermédiaire.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Modélisation géométrique 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de courbes de Bézier définies par une suite de
vecteurs.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Modélisation géométrique 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de formes réalisées par jonction d'arcs de
courbes de Bézier.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
Ce sera l'occasion de passer du modèle de Bézier qui
déforme globalement l'arc à une utilisation où l'on peut
modifier localement chaque arc.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Modélisation géométrique 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="30"></a><div class="program_theme">Modélisation géométrique 2</div>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="31"></a><div class="program_titre">Modèle de Bézier</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Présentation du modèle par vecteurs et contraintes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Un algorithme sera proposé donnant l'arc de courbe joignant
deux points lorsque les tangentes à la courbe en ces points sont
données (degré 2 ou 3 seulement).</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Modélisation géométrique 2 [Modèle de Bézier]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Présentation du modèle par points de définition et
polynômes de Bernstein.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Certaines propriétés des polynômes de Bernstein seront
étudiées pour prouver que la courbe de Bezier ne dépend pas
du repère choisi et pour étudier la forme de la courbe.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Modélisation géométrique 2 [Modèle de Bézier]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Présentation du modèle par une suite de vecteurs.
Algorithmes associés.
Construction géométrique d'un point de la courbe.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les algorithmes itératif et récursif seront explicités.
La construction géométrique par barycentres successifs pourra,
de plus, mettre en oeuvre le tracé de la tangente en un point à la
courbe (propriété admise)</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Modélisation géométrique 2 [Modèle de Bézier]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="32"></a><div class="program_titre">Modèle B-Spline</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Présentation de courbes B-Splines obtenues à partir des
polynômes de Riesenfeld et de points de définition (degré 2
ou 3).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La détermination de ces polynômes pourra être réalisée, mais
aucune connaissance à ce sujet n'est exigible dans le cadre du
programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Modélisation géométrique 2 [Modèle B-Spline]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> En utilisant la définition récursive de Cox et de De Boor,
détermination de fonctions B-Splines à partir d'un vecteur
noeud sans multiplicité puis de courbes B-Splines utilisant ces
fonctions et des points de définition.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Dans le cas d'un vecteur noeud tel que (0,1,2,3), on déterminera
les fonctions B-Splines ; sinon ces fonctions seront fournies.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Modélisation géométrique 2 [Modèle B-Spline]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="33"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de courbes de Bézier définies par vecteurs et
contraintes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Modélisation géométrique 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de courbes de Bézier définies par points de
définition et polynômes de Bernstein.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On pourra donner des exemples de passage du degré 2 au
degré 3 en utilisant deux fois le point intermédiaire.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Modélisation géométrique 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de courbes de Bézier définies par une suite de
vecteurs.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Modélisation géométrique 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de formes réalisées par jonction d'arcs de
courbes de Bézier.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
Ce sera l'occasion de passer du modèle de Bézier qui
déforme globalement l'arc à une utilisation où l'on peut
modifier localement chaque arc.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Modélisation géométrique 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de courbes B-Splines issues des polynômes de
Riesenfeld.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Modélisation géométrique 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de courbes B-Splines issues de la définition
récursive de Cox et de De Boor.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Modélisation géométrique 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="34"></a><div class="program_theme">Calcul matriciel</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Matrices.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
Une matrice est introduite comme un tableau de nombres
permettant de représenter une situation comportant plusieurs
"entrées" et "sorties".</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul matriciel [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Calcul matriciel élémentaire : addition, multiplication par un
nombre, multiplication.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Le choix de la définition de chaque opération portant sur les
matrices s'appuie sur l'observation de la signification du
tableau de nombres ainsi obtenu.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul matriciel [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="35"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Calcul de sommes et de produits de matrices.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La notion de matrice inverse est hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul matriciel [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="36"></a><div class="program_theme">Algèbre linéaire</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> R<sup>n</sup>, espace vectoriel sur R.
Bases de R<sup>n</sup> ; base canonique de R<sup>n</sup>.
Applications linéaires de R<sup>p</sup> dans R<sup>n</sup>.
Algèbre L(R<sup>n</sup>) des endomorphismes de R<sup>n</sup>.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera à des exemples où la dimension est petite ;
aucune connaissance théorique sur le cas général n'est exigible
dans le cadre du programme de mathématiques.
L'étude des structures algébriques (groupes, anneaux, corps,...)
n'est pas au programme ; il en est de même pour les notions
générales d'espace vectoriel et d'algèbre.
Les généralités sur l'algèbre linéaire doivent être réduites au
minimum, et aucune difficulté théorique ne doit être soulevée
sur ce chapitre.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Algèbre linéaire [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Matrice associée à une application linéaire de R<sup>p</sup> dans
R<sup>n</sup>
relativement à des bases données.
Algèbre M<sub>n</sub>(R) des matrices carrées.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefchgbase.fr&exo=matrice&+cmd=new  Matrice d'une application linéaire 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefchgbase.fr&exo=matrice2&+cmd=new  Matrice d'une application linéaire 1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefchgbase.fr&exo=matrice3&+cmd=new  Matrice d'une application linéaire
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Algèbre linéaire [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Matrice associée à un endomorphisme de R<sup>n</sup> dans une base,
changement de base, matrices semblables.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La méthode mise en oeuvre sera détaillée dans le cas où n = 2.
On admettra sa généralisation et on utilisera les moyens
informatiques pour obtenir les résultats cherchés.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefchgbase.fr&exo=changbas0&+cmd=new  Changement de base simple
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefchgbase.fr&exo=changbase&+cmd=new  Changement de base (matrice)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Algèbre linéaire [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme ;
définition des endomorphismes diagonalisables, interprétation
matricielle.
Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
Aucune connaissance sur les méthodes de réduction des
matrices non diagonalisables n'est exigible dans le cadre du
programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=Peigen1&+cmd=new  Trouver un vecteur propre (III)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=Peigen2&+cmd=new  Trouver un vecteur propre (IV)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=diag1&+cmd=new  Matrices diagonalisables dim 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=diag2&+cmd=new  Matrices diagonalisables dim 3
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=diag3&+cmd=new  Matrices diagonalisables dim 4
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=diagR1&+cmd=new  Diagonalisation sur R (I)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=diagR2&+cmd=new  Diagonalisation sur R (II)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=eigen1&+cmd=new  Trouver un vecteur propre (I)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=eigen2&+cmd=new  Trouver un vecteur propre (II)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=mat2&+cmd=new  Matrices d'ordre 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=matdiag2&+cmd=new  Matrice diagonalisable ? (dim 2)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=matdiag3&+cmd=new  Matrice diagonalisable ? (dim 3)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=valprop&+cmd=new  Valeurs propres
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=valprop2&+cmd=new  Valeurs propres 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=valprop3&+cmd=new  Valeurs propres 3
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Algèbre linéaire [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="37"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Détermination de la matrice associée à une application
linéaire de R<sup>p</sup> dans R<sup>n</sup> relativement aux bases canoniques
et
détermination de l'image d'un vecteur par une application
linéaire de matrice donnée.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Algèbre linéaire [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de diagonalisation d'une matrice.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On montrera l'intérêt de la diagonalisation pour la résolution de
systèmes linéaires homogènes d'équations différentielles
linéaires du premier ordre à coefficients constants et pour
l'étude de systèmes de suites récurrentes dans des cas très
simples.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solcascade&+cmd=new  Solutions salines en cascade
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solcirc&+cmd=new  Solutions salines en circuit circulaire 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solcircosc&+cmd=new  Solutions salines et oscillations
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solferm&+cmd=new  Solutions salines et vecteurs propres
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solferm4&+cmd=new  Solutions salines en circuit fermé
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solflim3&+cmd=new  Solutions salines
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solumodel3&+cmd=new  Mélange de solutions (modélisation)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solumodelb&+cmd=new  Mélange de solutions (modélisation) II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solution1&+cmd=new  Solution à volume constant
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solution2&+cmd=new  Solution et EDO 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Algèbre linéaire [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="38"></a><div class="program_theme">Statistique descriptive</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Séries statistiques à une variable :
Méthodes de représentation.
Caractéristiques de position (médiane, moyenne).
Caractéristiques de dispersion (interquantiles, variance, écart
type).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Il s'agit, d'une part de préciser la signification de chaque
caractéristique, d'autre part d'associer la précision des résultats
numériques obtenus (à l'aide d'une calculatrice ou d'un
ordinateur) à la précision sur les données et à la méthode mise
en oeuvre, notamment dans le cas où les classes sont définies
par des intervalles.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Statistique descriptive [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Séries statistiques à deux variables :
Tableaux d'effectifs.
Nuage de points ; point moyen.
Ajustement affine (méthode graphique ; méthode des moindres
carrés, droites de régression).
Coefficient de corrélation linéaire.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Pour l'ajustement affine, on distinguera liaison entre deux
variables statistiques et relation de cause à effet.
Pour la méthode des moindres carrés, on fera observer que l'on
crée une dissymétrie entre les deux variables statistiques qui
conduit, suivant le problème à résoudre, à privilégier l'une des
deux droites.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Statistique descriptive [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="39"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Étude de séries statistiques à une variable.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On interprétera les résultats obtenus.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Statistique descriptive [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'étude de séries statistiques à deux variables.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>En fournissant aux étudiants des indications sur la marche à
suivre, on pourra, d'une part étudier quelques exemples
d'ajustement qui, par un changement de variable simple, se
ramènent à un ajustement affine, d'autre part, à propos des
séries chronologiques, procéder à un lissage obtenu, par
exemple, par la méthode des moyennes mobiles, avant
d'effectuer, si nécessaire, un ajustement affine ;
mais aucune connaissance sur ces démarches n'est exigible dans
le cadre du programme de mathématiques</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Statistique descriptive [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="40"></a><div class="program_theme">Calcul des probabilités 1</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Probabilités sur les ensembles finis :
Vocabulaire des événements, probabilité.
Probabilité conditionnelle, événements indépendants. Cas
d'équiprobabilité.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'ensemble des événements sera pris égal à l'ensemble de toutes
les parties de Omega.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Notation n!. Combinaisons.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Ces notions sont introduites pour présenter la loi binomiale. Les
calculs de dénombrement ne sont pas un objectif du programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Variables aléatoires discrètes à valeurs réelles :
Loi de probabilité.
Espérance mathématique, variance, écart type.
Loi binomiale, loi de Poisson.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Aucune difficulté théorique ne sera soulevée sur les variables
aléatoires.
On pourra utiliser la notation sigma, mais aucune connaissance à son
sujet n'est exigible dans le cadre du programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Variables aléatoires continues à valeurs réelles :
Fonction de répartition et densité de probabilité.
Espérance mathématique, variance, écart type.
Loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On sera amené à utiliser les notations
int<sub>a</sub><sup>+oo</sup>f(t) dt, int<sub>-oo</sub><sup>a</sup>f(t) dt,
int<sub>-oo</sub><sup>+oo</sup>f(t) dt, mais aucune connaissance sur les
intégrales
impropres n'est exigible en calcul de probabilités.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson.
Approximation d'une loi binomiale par une loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les résultats sont admis, mais l'outil informatique peut permettre
des approches expérimentales.
Aucune connaissance sur les critères d'approximation n'est
exigible dans le cadre du programme de mathématiques.
Les étudiants doivent savoir déterminer les paramètres.
Il conviendra de mettre en évidence la raison d'être de la
correction de continuité lors de l'approximation d'une loi
binomiale par une loi normale ; toutes les indications seront
fournies.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="41"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Calcul de probabilités portant sur l'union et sur
l'intersection de deux événements.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On ne traitera que quelques exemples très simples de
probabilité conditionnelle.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Étude de situations de probabilités faisant intervenir des
variables aléatoires suivant une loi binomiale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'énoncé des critères permettant l'utilisation de la loi
binomiale est exigible.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'étude de situations de probabilités faisant
intervenir des variables aléatoires suivant une loi de Poisson.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'étude de situations de probabilités faisant
intervenir des variables aléatoires suivant une loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Aucune connaissance sur l'interpolation affine avec la table de
la loi normale centrée réduite n'est exigible dans le cadre du
programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'étude de situations de probabilités faisant
intervenir des variables aléatoires suivant une loi binomiale que
l'on approche par une loi de Poisson ou une loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="42"></a><div class="program_theme">Calcul des probabilités 2</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Probabilités sur les ensembles finis :
Vocabulaire des événements, probabilité.
Probabilité conditionnelle, événements indépendants. Cas
d'équiprobabilité.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Il s'agit d'une initiation aux phénomènes aléatoires où toute ambition
théorique et toute technicité sont exclues.
L'objectif est que les étudiants sachent traiter quelques problèmes simples
concernant des variables aléatoires dont la loi figure au
programme. Les sciences et techniques industrielles et économiques fournissent
un large éventail de tels problèmes, que l'on pourra
étudier en liaison avec les enseignements des disciplines professionnelles.

L'ensemble des événements sera pris égal à l'ensemble de toutes
les parties de Omega.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Notation n!. Combinaisons.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Ces notions sont introduites pour présenter la loi binomiale. Les
calculs de dénombrement ne sont pas un objectif du programme.
Loi faible des grands nombres. Il s'agit de faire comprendre aux étudiants le
lien entre statistiques et probabilités. Une approche expérimentale et un
énoncé rudimentaire suffisent.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Variables aléatoires discrètes à valeurs réelles :
Loi de probabilité.
Espérance mathématique, variance, écart type.
Indépendance de deux variables aléatoires.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Aucune difficulté théorique ne sera soulevée sur les variables
aléatoires.
On pourra utiliser la notation Sigma, mais aucune connaissance à son
sujet n'est exigible dans le cadre du programme de
mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>
Espérance mathématique de aX + b, de X + Y et de X - Y ;
variance de aX + b, de X + Y et de X - Y dans le cas où X et Y
sont indépendantes.
Loi binomiale, loi de Poisson.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Variables aléatoires continues à valeurs réelles :
Fonction de répartition et densité de probabilité.
Espérance mathématique, variance, écart type.
Loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'exemple de la loi normale est suffisant. On pourra, en vue de
l'étude de la fiabilité, présenter la loi exponentielle.
On sera amené à utiliser les notations int<sub>a</sub><sup>+oo</sup>f(t) dt,
int<sub>-oo</sub><sup>a</sup>f(t) dt, int<sub>-oo</sub><sup>+oo</sup>f(t) dt,
mais aucune connaissance sur les intégrales
impropres n'est exigible en calcul de probabilités.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent
des lois normales :
<ul><li> les variables aX + b, X + Y et X - Y suivent des lois
normales ;
</li><li>formules donnant l'espérance mathématique et la variance de
aX + b, de X + Y et de X - Y, dans le cas où X et Y sont
indépendantes.
</li></ul></td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les formules sont admises.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Théorème de la limite centrée : approximation par une loi
normale de la somme de v<sub>n</sub> ariables indépendantes, de même loi
et de variance finie.
Distribution d'échantillonnage asymptotique de la moyenne et de
la fréquence empirique.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson.
Approximation d'une loi binomiale par une loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les résultats sont admis, mais l'outil informatique peut permettre
des approches expérimentales.
Aucune connaissance sur les critères d'approximation n'est
exigible dans le cadre du programme de mathématiques.
Les étudiants doivent savoir déterminer les paramètres.
Il conviendra de mettre en évidence la raison d'être de la
correction de continuité lors de l'approximation d'une loi
binomiale par une loi normale ; toutes les indications seront
fournies.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


Travaux pratiques
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Calcul de probabilités portant sur l'union et sur
l'intersection de deux événements.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On ne traitera que quelques exemples très simples de
probabilités conditionnelles.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Étude de situations de probabilités faisant intervenir des
variables aléatoires suivant une loi binomiale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'énoncé des critères permettant l'utilisation de la loi
binomiale est exigible.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'étude de situations de probabilités faisant
intervenir des variables aléatoires suivant une loi de Poisson.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'étude de situations de probabilités faisant
intervenir des variables aléatoires suivant une loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Aucune connaissance sur l'interpolation affine avec la table de
la loi normale centrée réduite n'est exigible dans le cadre du
programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'étude de situations de probabilités faisant
intervenir des variables aléatoires suivant une loi binomiale que
l'on approche par une loi de Poisson ou une loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul des probabilités 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="43"></a><div class="program_theme">Statistique inférentielle</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Estimation ponctuelle d'un paramètre :
<ul><li>fréquence ;
</li><li> moyenne et écart type.
</li></ul></td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Une illustration qualitative succincte des notions de biais et de
convergence d'un estimateur peut être proposée, mais toute
étude mathématique de ces qualités est hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Statistique inférentielle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Estimation par un intervalle de confiance d'un paramètre :
<ul><li> fréquence dans le cas d'une loi binomiale approximable par
une loi normale ;
</li><li> moyenne, dans le cas d'une loi normale quand son écart type
est connu ou dans le cas de grands échantillons.
</li></ul></td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On distinguera confiance et probabilité :
<ul><li>avant le tirage d'un échantillon, la procédure d'obtention de
l'intervalle de confiance a une probabilité 1 - a que cet
intervalle contienne le paramètre inconnu,
</li><li>après le tirage, le paramètre est dans l'intervalle calculé avec
une confiance 1 - a.</li></ul></td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Statistique inférentielle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Tests d'hypothèse :
<ul><li>relatifs à une fréquence p, dans le cas d'une loi binomiale
approximable par une loi normale,
<ul><li>tester p = p<sub>0</sub>  contre p &gt; p<sub>0</sub> , contre p  <
p<sub>0</sub> ;
</li><li>tester p = p<sub>0</sub> = contre p = p<sub>0</sub> - ;
</li></ul>
</li><li> relatifs à une moyenne m, dans le cas de la loi normale,
</ul></li><li>
tester m = m<sub>0</sub>  contre m &gt; m<sub>0</sub>, contre m &lt; m<sub>0</sub>
;</li><li>
tester m = m<sub>0</sub>  contre m différent de m<sub>0</sub> ;
</li></ul>
</li><li>
comparaison de deux proportions ou de deux moyennes.
</li></ul></td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La taille n de l'échantillon sera suffisamment grande (n &gt; 30).
On soulignera que la décision prise, rejet ou acceptation,
dépend des choix faits a priori par l'utilisateur : choix de
l'hypothèse nulle, choix du seuil de signification.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Statistique inférentielle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="44"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance de la
fréquence, dans le cas d'une loi binomiale connue, à partir
d'échantillons simulés.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La connaissance a priori de la loi sous'jacente permet de
comparer le paramètre réel et les estimations obtenues à partir
des échantillons.
Aucune connaissance sur ce TP n'est exigible dans le cadre du
programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Statistique inférentielle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance de
fréquences.
Estimation ponctuelle de moyennes, d'écarts types et estimation
par intervalle de confiance de moyennes, dans des situations
relevant de la loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Quand n est grand, le théorème de la limite centrée étend la
procédure mise au point pour les échantillons gaussiens à des
cas plus généraux.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Statistique inférentielle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Construction et utilisation de tests :
<ul><li> unilatéraux et bilatéraux relatifs à une fréquence ;
</li><li> unilatéraux et bilatéraux relatifs à une moyenne dans des
situations relevant de la loi normale.
</li></ul></td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La construction d'un test comporte le choix des hypothèses
nulle et alternative, la détermination de la région critique et
l'énoncé de la règle de décision.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Statistique inférentielle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Construction et utilisation de tests de comparaison de deux
proportions ou de deux moyennes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Cette comparaison peut permettre, par exemple, d'apprécier
une éventuelle amélioration dans un processus de fabrication.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Statistique inférentielle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'utilisation de la droite de Henry, du test du
chi<sup>2</sup>,
du test de Student (cas des petits échantillons).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Ce TP n'est à réaliser, en entier ou en partie, qu'en liaison avec
les enseignants des disciplines professionnelles et seulement si,
dans celles-ci, ces procédures sont utilisées.
Aucune connaissance à son sujet n'est exigible dans le cadre du
programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Statistique inférentielle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="45"></a><div class="program_theme">Fiabilité</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Notions de fonction de fiabilité, de fonction de défaillance,
de taux d'avarie (ou de mort), moyenne des temps de bon
fonctionnement (MTBF).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La MTBF est définie comme l'espérance mathématique de la
durée de vie.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Fiabilité [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Loi exponentielle.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Fiabilité [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Loi de Weibull.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Fiabilité [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="46"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'étude de fiabilité et d'estimation de paramètres
dans le cas de la loi exponentielle.
Représentation des données en utilisant le papier semilogarithmique.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Fiabilité [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'étude de fiabilité et d'estimation de paramètres
dans le cas de la loi de Weibull.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
On montrera que l'utilisation de papier de Weibull permet
d'obtenir une estimation des paramètres de cette loi, à partir de
la fonction de répartition empirique. (L'utilisation de logiciels
ad hoc donne directement une estimation optimale des mêmes
paramètres et permet, en outre, d'obtenir un intervalle de
confiance).
Le problème de l'adéquation de données empiriques à un
modèle est hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Fiabilité [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'étude de la disponibilité d'un système où le taux
de défaillance et le taux de réparation sont constants.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Ce TP n'est à réaliser, en entier ou en partie, qu'en liaison avec
les enseignants des disciplines professionnelles et seulement si,
dans celles-ci, ces procédures sont utilisées.
Aucune connaissance à son sujet n'est exigible dans le cadre du
programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Fiabilité [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="47"></a><div class="program_theme">Plans d'expérience</div>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="48"></a><div class="program_titre"></div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Plan factoriel à deux ou à trois facteurs, chacun à deux
niveaux :
définition des actions principales, des interactions ;
notion de degré de liberté.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La technique des plans d'expérience est devenue d'usage courant dans la
mise en place des procédés industriels. Les enseignements
professionnels font souvent référence à la méthode Taguchi.
En mathématiques, l'objectif de ce module est de montrer aux étudiants la
nécessité de planifier les expériences et de leur permettre
d'appréhender la démarche mise en oeuvre afin d'obtenir une estimation optimale
des paramètres inconnus, quand les mesures faites
ont un caractère aléatoire.
On montrera également l'importance du modèle a priori.
On évitera les situations artificielles et on s'appuiera sur des exemples issus
du domaine professionnel, en liaison avec les
enseignements des disciplines correspondantes.

L'utilisation des méthodes de l'algèbre linéaire est hors
programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Plans d'expérience []
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Matrice d'expérience, estimation ponctuelle des paramètres du
modèle (effets principaux, éventuellement interaction).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>En liaison avec les enseignements des disciplines
professionnelles, si le besoin apparaît, on abordera la notion de
plan fractionnaire, mais aucune connaissance à ce sujet n'est
exigible dans le cadre du programme de mathématiques.
On indiquera la méthode de construction de la matrice
d'expérience selon l'algorithme de Yates.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Plans d'expérience []
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Intervalle de confiance pour les estimations des paramètres
du modèle quand l'écart type des mesures expérimentales est
connu, dans des situations relevant de la loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Sur des exemples simples, on montrera quelles sont les
conditions pour que l'écart type puisse être estimé quand il est
inconnu ; on pourra alors être amené à utiliser la loi de Student,
mais aucune connaissance à ce sujet n'est exigible dans le cadre
du programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Plans d'expérience []
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Test sur la signification d'un facteur, dans les conditions
précédentes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Plans d'expérience []
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="49"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de mise en oeuvre de plans d'expérience.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
On utilisera dans la mesure du possible les situations que les
étudiants peuvent rencontrer lors de leurs périodes de formation
en entreprise.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Plans d'expérience [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="50"></a><div class="program_theme">Calcul Vectoriel</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>
Vecteurs (position, vitesse, accélération, force).
Barycentres (centres d'inertie).
Produit scalaire (longueurs, angles, puissance, travail).
Produit vectoriel (aires, angles, moments cinétique et
dynamique, moment d'une force en un point).
Produit mixte (volumes, moment d'une force par rapport à un
axe).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On soulignera le lien avec les concepts correspondants en
sciences physiques et en mécanique, mais aucune
connaissance en cinématique ou en dynamique n'est exigible
dans le cadre du programme de mathématiques.
En outre, on pourra être amené à donner quelques notions
sur les vecteurs glissants et sur les torseurs, mais aucune
connaissance à ce sujet n'est exigible dans le cadre du
programme de mathématiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Calcul Vectoriel [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="51"></a><div class="program_theme">Configurations géométriques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'étude de problèmes portant sur les objets usuels
du plan et de l'espace.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les seules connaissances exigibles des étudiants sont celles figurant
dans les programmes de Seconde, Première STI et Terminale
STI ou de Première et Terminale conduisant aux brevets de technicien préparés
après la seconde de détermination.
L'objectif est de mettre en oeuvre et de compléter cet acquis à partir de
problèmes privilégiant les situations rencontrées dans les
autres enseignements : analyse de la forme d'un objet usuel de l'espace (par
projection ou famille de sections planes), modes de
génération de tels objets (surfaces de révolution,...), calculs de distances,
d'angles, d'aires, de volumes, problèmes d'optimisation,...
sur ces objets.
On fera la liaison avec les enseignements technologiques mettant en oeuvre des
logiciels de conception assistée par ordinateur
(CAO).

Les sciences et techniques industrielles fournissent un large
éventail de tels problèmes, et on évitera les situations
artificielles.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider à la mise à jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise à jour\
math/math.bts - Configurations géométriques [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
</table>

!tail
