!set wims_backslash_insmath=yes
!if $special_parm2 isin binomial,poisson,geometric,hypergeometric,pascal
!set gloss_fnctcar=Función generatriz
!else
!set gloss_fnctcar=Función característica
!endif
!set gloss_table= <table align="center" border=1><tr align="center"><th> Esperanza</th><th> Varianza</th><th>$gloss_fnctcar</th></tr><tr align="center">

!goto $special_parm2

:binomial

Sea \(n) un entero positivo y \(p) un número real tal que \(0 \leq p \leq 1). La <font color="green"><b>ley binomial</b></font> \({\mathcal B}(n,p)) es la ley de
 probabilidad \(q=(q(0),...,q(n))) sobre \(\{0,...,n\}) definida por 
 <center>\( q(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} )</center>
para \(k) entero verificando \(0\leq k \leq n).

<p> $gloss_table 
<td> \(np)</td><td> \(np(1-p))</td><td>\((1-p+pz)^n)</tr></table>
<p>
Los parámetros necesarios son <b><font color=red> \(n), \(p)</font></b>. 

<p><b>Ejemplo</b> : se dispone de una moneda que al lanzarla, tiene una probabilidad <font color="green"><b>\(p)</b></font> de salir
 <font color="green"><b>cara</b></font> y <font color="red"><b>\(1-p)</b></font> de salir <font color="red"><b>cruz</b></font>. El número de 
 <font color="green"><b>caras</b></font> que se obtienen cuando se lanza \(n) veces, define una
 variable aleatoria \(X) cuya ley de probabilidad es binomial \({\mathcal B}(n,p)). 
!exit
:poisson

Sea \(\lambda) un número real estrictamente positivo. 
La <font color="green"><b> ley de Poisson</b></font> \({\mathcal P}(\lambda)) es la ley de probabilidad
\(q=\{q(k), k\in \NN\})
sobre \(\NN) definida por 
<center>\(q(k)= e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} )
pour \(k\in \NN).</center> 
<p> $gloss_table 
<td> \(\lambda)</td><td> \(\lambda)</td><td>\(\exp(\lambda(z-1))) </tr></table>

<p>El parámetro necesario es <b> \(\special{color=red}\lambda)</b>.

!exit
:geometric

Sea \(p) un número real tal que \(0<p<1). La <font color="green"><b>ley geométrica</b></font> \({\mathcal G_{\NN^*}}(p)) sobre \(\NN^*) está definida por 
<center>\( P(X=k)=p(1-p)^{k-1} ) para todo \(k \in \NN^*) </center>
<p> $gloss_table 
<td>\(\frac{1}{p})</td><td>\(\frac{1-p}{p^2})</td><td>\(\frac{pz}{1-(1-p)z}) </tr></table>

<p>El parámetro necesario es 
<b><font color=red> \(p)</font></b>.
<p><b>Ejemplo</b> : se dispone de una moneda que al lanzarla, tiene una probabilidad <font color="green"><b>\(p)</b></font> de salir
 <font color="green"><b>cara</b></font> y <font color="red"><b>\(1-p)</b></font> de salir <font color="red"><b>cruz</b></font>. El número de veces que hay que lanzar la moneda para que salga
 <font color="green"><b>cara</b></font> define
 una variable aleatoria \(X) cuya ley de probabilidad sigue una ley geométrica
 \({\mathcal G}_{\NN^*}(p)).
 <p>
 
Si \(X) es una variable aleatoria de ley \({\mathcal G}_{\NN^*}(p)) entonces \(X-1) es una variable aleatoria de ley \({\mathcal G}_{\NN}(p)).


!exit

:geometric2

Sea \(p) un número real tal que \(0<p<1). La <font color="green"><b>ley geométrica</b></font> \({\mathcal G}_{\NN}(p)) sobre \(\NN) está definida por 
<center>\( P(X=k)=p(1-p)^k ) para todo \(k \in \NN) </center>

<p><b>Exemple</b> : se dispone de una moneda que, al lanzarla tiene una probabilidad <font color="green"><b>\(p)</b></font> de salir
 <font color="green"><b>cara</b></font> y <font color="red"><b>\(1-p)</b></font> de salir <font color="red"><b>cruz</b></font>. El número de lanzamientos efectuados
 antes de obtener el primer lanzamiento cuyo resultado es <font color="green"><b>cara</b></font> define
 una variable aleatoria \(X) cuya ley es la ley geométrica
 \({\mathcal G_{\NN}}(p)).<p>

Si \(X) es una variable aleatoria de ley \({\mathcal
G_{\NN}}(p)) entonces \(X+1) es una variable aleatoria de ley \({\mathcal
G_{\NN^*}}(p)).
<p> $gloss_table 
<td></td>\(\frac{1-p}{p}</td><td>\(\frac{1-p}{p^2})<td></td><td>(\frac{p}{1-(1-p)z}) </tr></table>

<p>El parámetro necesario es 
<b><font color=red> \(p)</font></b>.
!exit


:hypergeometric

Sea \(N), \(K) y \(n) enteros positivos tales que 
 <center>\(0\leq n\leq N) y  \(0\leq K\leq N). </center>
 La <font color="green"><b>ley hypergeométrica</b></font> de parámetros \(N), \(K), \(n) es la ley de
 probabilidad \(q) sobre \(\{\max(0,n-(N-K)),..., \min(n,K)\}) definido por 
<center>\( q(k)=\frac{C_K^kC_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} )</center>
para un entero \(k) tal que 
<center>\(\max(0,n-(N-K))\leq k\leq \min(n,K)).</center>
<p> $gloss_table 
<td>\(\frac{nK}{N})</td><td>\(\frac{N-n}{N-1}\frac{nK}{N}(1-\frac{K}{N}))</td><td> </tr></table>
 
<p>Los parámetros necesarios son 
<b><font color=red> \(N), \(K),\(n)</font></b>. 

<p><b>Ejemplo</b> : tenemos una población de \(N) individuos, que se puede
 separar en dos clases, \(K) individuos de tipo 1 
y \(N-K)
 individuos de tipe 2. El número de individuos de tipo 1 obtenido
 eligiendo al azar un subconjunto de \(n) individuos, define
 una variable aleatoria \(X) de ley hipergeométrica de parámetros \(N,K,n).

!exit

:pascal
 Sea \(r) un entero estrictamente positivo y \(p) un número real tal que
 \(0\leq p\leq 1). 
La <font color="green"><b>ley binomial negativa</b></font> (llamada también <font color="green"><b>ley de Pascal</b></font>) de parámetros
\(r) y \(p) es la ley \(q) sobrte \(\NN)  definida por 
<center> \(q(k)=C^{r-1}_{r+k-1}p^{r}(1-p)^{k}) para todo entero
 \(k\geq 0)</center>
<p><b>Ejemplo</b> : se dispone de una moneda que, al ser lanzada tiene una probabilidad <font color="green"><b>\(p) </b></font>
de salir <font color="green"><b>cara</b></font> y \(1-p) de salir <font color="red"><b>cruz</b></font>.  El número de 
<font color="red"><b>cruces</b></font> obtenidas antes de obtener en el lanzamiento \(r) <font color="green"><b>cara</b></font>
define una vartiable aleatoria de ley binomial negativa de parámetros
\(r) et \(p).

 <p>
<p> $gloss_table 
<td>\(r(\frac{1}{p}-1))</td><td>\(r\frac{1-p}{p^2})</td><td>
\((\frac{p}{1-(1-p)z})^r) </tr></table>
<p>Los parámetros necesarios son 
<b><font color=red> \(r) et \(p)</font></b>.

!exit

:cauchy

Sean \(lambda) y \(s) reales. 
La <font color="green"><b>ley de Cauchy</b></font> \(C(\lambda,s)) es la ley continua sobre \(\RR) de densidad :

<center>\(x\mapsto \frac{1}{\pi s}\frac{1}{1+(\frac{x-\lambda}{s})^2} )</center><p>
Los parámetros necesarios son <b> \(\special{color=red}\lambda), <font
color=red>\(s)</font></b>. 
<p>
Si \(X) es una variable aleatoria de ley de Cauchy \(C(0,1)) entonces
\(Y=\lambda+sX) es una variable aleatoria de ley de Cauchy
\(C(\lambda,s)).<p>
La mediana de \(Y) es \(\lambda) y \(\lambda\pm s) son el primer
y tercer cuartil.
La ley de Cauchy no tiene esperanza. 

<p> $gloss_table 
<td>&nbsp;</td><td>&nbsp;</td><td>
\(\exp(it\lambda-s|t|)) </tr></table>
!exit

:normal

Sea \(m) y \(\sigma) dos números reales con \(\sigma>0). 
La <font color="green"><b>ley normal</b></font> \({\mathcal N}(m,\sigma^2)) es la ley continua sobre \(\RR) con función de densidad :
<center>\(x\mapsto\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}))
</center>

<p> $gloss_table 
<td>\(\m)</td><td>\(\sigma^2)</td><td> \(\exp(imt-\frac{1}{2}\sigma^2t^2))</td></tr></table>

<p>Los parámetros necesarios son 
<b><font color=red> \(m), </font>\(\special{color=red}\sigma)</b>.

<p>Si \(X) sigue la ley \({\mathcal N}(0,1)), entonces \(Y=m+\sigma X)
sigue la ley \({\mathcal N}(m,\sigma^2)).

!exit
:lognormal
Sean \(m) y \(s) reales con \(s>0).
La <font color="green"><b>ley log-normal</b></font> \({\mathcal LN}(m,s)) es la ley de la variable \(exp(X)) donde \(X) es una
variable aleatoria de ley \({\mathcal N}(m,s^2)). Su densidad es 
<center>\( x \mapsto \frac{1}{sx\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{(\log(x)-m)^2}{2s^2})1_{x>0})</center>
<p> $gloss_table 
<td>\(\exp(m+\frac{s^2}{2}))</td><td>\((\exp(s^2)-1)\exp(2m+s^2))</td><td> </td></tr></table>
<p>Los parámetros necesarios son 
<b><font color=red> \(m), </font>\(\special{color=red}s)</b>.


!exit

:exponential
Sea \(a ) un real >0. La <font color="green"><b>ley exponencial</b></font> \({\mathcal E}(a)) es
la ley continua sobre \(\RR_+) de densidad 
<center>\(x\mapsto ae^{-ax}1_{x>0} )</center>

<p> $gloss_table 
<td>\(\frac{1}{a})</td><td>\(\frac{1}{a^2})</td><td>\(\frac{1}{1-i\frac{t}{a}})</td> </tr></table>


<p>El parámetro necesario es 
<b><font color=red> \(a)</font></b>. 
!exit

:chi2
Sea \(n) un entero estrictamente positivo. 
La <font color="green"><b>ley de chi cuadrado</b></font>  de \(n) grados de libertad, denotada por \(\chi^2(n)), es la ley de
la suma de los cuadrados de \(n) variables normales centradas y reducidas
independientes. Es una ley continua sobre \(\RR_+) de densidad 
<center>\( {\Huge x \mapsto \frac{x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}1_{x>0 }})</center>
<p> $gloss_table 
<td>\(n)</td><td>\(2n)</td><td>\((1-2it)^(-n/2))</td> </tr></table>
 
<p>El parámetro necesario es 
<b><font color=red>\(n) </font></b>.

!exit

:gamma

Dados los números reales \(a >0) y \(b>0), la <font color="green"><b>ley Gamma</b></font> \(Gamma(a,b)) es
la ley continua sobre \(\RR_+) que tiene como dunción de densidad 

 <center> \(x\mapsto\frac{b^ae^{-bx}x^{a-1}}{\Gamma(a) }1_{x>0})</center>

<p> $gloss_table 
<td>\(\frac{a}{b})</td><td>\(\frac{a}{b^2})</td><td>\((1-\frac{it}{b})^{-a})</td> </tr></table>
<p>
Si \(a) es un entero strictamente positivo, la ley \(Gamma(a,b)) es la
ley de la suma de \(a) variables aleatoria independientes de ley
exponencial de parámetro \(b).<p>

<p>Los parámetros necesarios son 
<b><font color=red>\(a), \(b)</font></b>.
!exit

:weibull

Sean \(a) y \(lambda) reales estrictamente positivos. La <font color="green"><b>ley de
Weibull</b></font> \({\mathcal W}(a,\lambda)) es la ley de la variable
aleatoria \(X^a) cuando \(X) sigue la ley exponencial de parámetro
\(\lambda). Es la ley continua sobre \(\RR_+) que tiene por función de densidad 
<center> \(x\mapsto a\lambda x^{a-1} e^{-\lambda x^a} 1_{x>0})</center>


<p> $gloss_table 
<td>\(\lambda^{-\frac{1}{a}}\Gamma(\frac{1}{a}+1))</td><td>\(\lambda^{-\frac{2}{a}}\left ( \Gamma(\frac{2}{a}+1)-\Gamma(\frac{1}{a}+1)^2\right ))</td><td></td>
</tr></table>
 <p>Los parámetros necesarios son 
<b><font color=red>\(a), \(\special{color=red} \lambda)</font></b>.
!exit 

:student

Sea \(n) un entero estrictamente positivo. La <font color="green"><b>ley de Student</b></font> \({\mathcal T }(n)) de \(n) grados de libertad es la ley de la variable aleatoria
\(\frac{X}{\sqrt{Y/n}}) lorsque \(X) es una variable aleatoria de ley normal
\(\mathcal{N}(0,1)) et \(Y) es una variable aleatoria independiente de \(X) de
ley chi-cuadrado \(\chi^{2}(n)). Es la ley continua sobre  \(\RR) que tiene como
función de densidad 
<center>\(x\mapsto\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}(1+\frac{x^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}})</center>

<p> $gloss_table 
<td>0 si \(n>1) </td><td>\(\frac{n}{n-2}) si \(n>2)</td><td></td> </tr></table>

<p>El parámetro necesario es 
<b><font color=red>\(n) </font></b>. 

!exit 

:beta
Soient \(a) et \(b) deux réels strictement positifs. La <font color="green"><b>loi Beta</b></font>
\({\mathcal B}(a,b)) est la loi continue sur \(\rbrack 0, 1\lbrack)
dont la densité est 

<center> \(x\mapsto\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} x^{a-1} (1-x)^{b-1} 1_{\rbrack 0, 1\lbrack}(x))</center>
<p> $gloss_table 
<td>\(\frac{a}{a+b})</td><td>\(\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)})</td><td></td> </tr></table>

<p>Les paramètres demandés sont 
<b><font color=red>\(a), \(\b)</font></b>.
!exit 

:fisher

Soient \(n) et \(m) deux entiers strictement positifs. La <font color="green"><b>loi Fisher</b></font>
\({\mathcal F}(n,m)) est la loi de la variable aléatoire \(\frac{mX}{nY}) 
lorsque \(X) est une variable aléatoire de loi \(\chi^{2}(n)) et \(Y) est une variable aléatoire 
indépendante de \(X) de loi \(\chi^{2}(m)). C'est la loi continue
sur \(\RR_{+}^{*}) qui a comme densité 

<center> \(x\mapsto n^{\frac{n}{2}}m^{\frac{m}{2}}\frac{\Gamma(\frac{n+m}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2})} x^{-1+\frac{n}{2}} (m+nx)^{-\frac{n+m}{2}}1_{x>0})</center>
<p> $gloss_table 
<td>\(\frac{m}{m-2}) si \(m>2)</td><td>\(\frac{2m^2}{n}\frac{n+m-2}{(m-2)^2(m-4)}) si \(m>4)</td><td></td> </tr></table>

<p>Les paramètres demandés sont 
<b><font color=red> \(n), \(m)</font></b>.
!exit 

:laplace
La <font color="green"><b>loi de Laplace</b></font> est une loi continue sur \(\RR) dont la densité
est :
 <center>\(x\mapsto \frac{1}{2}\exp(-|x|))</center>

<p> $gloss_table 
<td>0</td><td>2</td><td>\(\frac{1}{1+t^2})
</td> </tr></table>
!exit

:logistic
La <font color="green"><b>loi logistique</b></font> est la loi de la variable \(\ln(\exp(Y)-1))
lorsque \(Y) est une variable aléatoire de loi exponentielle de
paramètre 1. C'est une loi continue sur \(\RR) qui a pour densité 
:
<center>
\(x\mapsto \exp(-x)(1+\exp(-x))^{-2}=\frac{1}{1+\exp(-x)}(1-\frac{1}{1+\exp(-x)}))</center>

<p> $gloss_table 
<td>0</td><td>\(\frac{\pi^2}{3})</td><td>
</td> </tr></table>


!exit

:pdf 
<ul><li>
Pour une loi de probabilité \(q) sur les entiers, la <font color="green"><b>densité</b></font> en
l'entier \(k) est par définition \(q(k)).
</li><li>
Pour une loi continue \(\mu) sur \(\RR), une fonction \(f) définie sur \(\RR) à valeurs positives ou nulles est une
<font color="green"><b>densité</b></font> pour \(mu) si pour tout réel \(t), 
<center>\(\mu(\rbrack-\infty,t\rbrack)=\int_{-\infty}^t f(u)du).</center>
(\(\mu(\rbrack-\infty,t\lbrack)) est aussi la probabilité de l'événement \(\{X\leq t\}).)</li></ul>
!exit
:cdf 
La <font color="green"><b>fonction de répartition</b></font> d'une loi \(\mu) sur \(\RR) est la
fonction définie sur \(\RR) par :
<center> \(t\mapsto\mu(\rbrack -\infty,t \rbrack))</center>
<p>
Si \(X) est une variable aléatoire réelle, la fonction de répartition de \(X) en \(t) est la probabilité de l'événement \(\{X\leq t\}).

!goto exemple

!exit
:inv
<p>Soient \(q ) un réel tel que \(0<q<1) et \(\mu) une loi de probabilité sur \(\RR) de fonction de répartition \(F). Un
<font color="green"><b>quantile d'ordre \(q)</b></font> est n'importe quel réel \(t) vérifiant
<center>\(\mu(\rbrack -\infty,t \lbrack)\leq q \leq \mu(\rbrack -\infty,t \rbrack)).</center>
Cet outil calcule le plus petit quantile d'ordre \(q) de
la loi \(\mu), c'est-à-dire le plus petit réel \(t) vérifiant \(F(t) \geq q).
</p>
<p>Si \(X) est une variable aléatoire réelle, c'est aussi le plus petit réel \(t) tel que la probabilité de l'événement \(\{X\leq t\}) soit supérieure ou égale à \(q).
</p>
!goto exemple

!exit
:exemple

!set aa=2
!set f= $aa*exp(-t^($aa))*t^($aa-1)
!set maxf=$$[(($aa-1)/$aa)^(1/$aa)] 
!set cc=!mathsubst t= $maxf in $f
!set g=1-exp(-t^($aa))
!set insdraw_size=200,200
!set t=!random $[$maxf*0.8],$[$maxf*1.2]
!set u=!mathsubst t=$[$t/2] in $f
!set u1=!mathsubst t=$[$t] in $g

<table align="center"><tr><td align="center">
!insdraw xrange -0.1, 3*$maxf\
yrange -0.1,$cc*1.1\
hline 0,0,black\
vline 0,0,black\
text black, $t,0,medium,t\
trange 0,5\
plot blue,t,$f\
vline $t,0,black\
fill $[$t/2], $[$u/2], grey
</td><td>
!insdraw xrange -0.1, 3*$maxf\
yrange -0.1,$cc*1.1\
hline 0,0,black\
vline 0,0,black\
text black, $t,0,medium,t\
disk $t,$u1,5,blue\
dhline 0,$u1,blue\
text black,0,$u1,medium,q\
trange 0,5\
plot green,t,$g\
vline $t,0,black

</td><tr><td colspan=2>
On a tracé à gauche le graphe de 
<font color="blue"><b>la fonction de densité</b></font> d'une  
loi de probabilité continue sur \(\RR) et à droite le <font color="green"><b>graphe de la fonction de répartition</b></font>.
!if $special_parm2=cdf
 La valeur de la fonction de répartition de \(X) en \(t) est égale à 
 l'aire de la surface en gris. </td></tr></table>

!exit
!endif
!if $special_parm2=inv
L'outil calcule
le plus petit réel \(t) tel que l'aire de la surface en gris
soit supérieure ou égale à \(q).

!set parm1=20
!set parm2=0.4
!set hist=!values binomial($parm1,x)\
*$parm2^x*(1-$parm2)^($parm1-x)  for x =0 to $parm1
!set insdraw_size=200,200

!set q=!random 0.2,0.5

!set dessin1=xrange -0.2, $parm1+1\
yrange -0.3,1.5\
hline 0,0,black\
vline 0,0,black\
dhline 0,1,black

!set dessin2=$dessin1
!set dessin1=$dessin1\
lines blue
!set dessin2=$dessin2\
dhline 0,$q,\
dhline 0,$q,\
lines green
!set h=!randint 5,8
!set z1=0
!set z2=0
!for j =0 to $[$parm1-1]
	!set z=!item $[$j+1] of $hist
	!set dessin1=!append item $j,$z2,$j,$z to $dessin1
	!set z2=$z
	!set z=$[$z+$z1]
	!set dessin2=!append item $j,$z1,$j,$z to $dessin2
	!set z1=$z		
	!if $j=$h
	!set h0=$z1	
	!endif
!next j
!for j =0 to $[$parm1/2]
	!set j1=$[2*$j]
	!set dessin1=!append line  text black,$j1,0,small, $j1 to $dessin1
	!set dessin2=!append line  text black,$j1,0,small, $j1 to $dessin2
!next j		
!set dessin2=$dessin2\
dhline red, 0,$h0\
line $h,  $h0,$[$h+1],$h0, red\
dhline $h,  $h0, red\
dvline $h,0,red\
dvline $h+1,0,red\
linewidth 2\
line $h,  0,$[$h+1],0, red\
text red,0,$h0,medium, q\


<tr align="center"><td>$slib_out
!insdraw $dessin1 
</td><td>
!insdraw $dessin2
</td><tr><td colspan=2> Dans le cas d'une loi discrète, l'ensemble des quantiles d'ordre
\(q) peut être un intervalle. Le quantile d'ordre $h0$  calculé par l'outil est $h.
</td></tr></table>
!exit
!endif
