\title{Única circunferencia}
\language{en}
\range{-5..5}
\author{Gang XIAO}
\email{xiao@unice.fr}
\computeanswer{no}
\format{html}
\precision{10000}

\text{addcomm=No. La suma no es conmutativa}
\text{nozero=No. El elemento 0 no existe}
\text{addasso=No. La suma no es asociativa}
\text{adddef=No. La suma no está bien definida}
\text{addneg=No. Algunos elementos no tienen opuesto}
\text{multdef=No. El producto por escalares no está bien definido}
\text{multasso=No. El producto por escalares no es asociativo}
\text{multone=No. Al multiplicar por el elemento unidad 1 cambia el vector}
\text{distrib=No. No verifica la propiedad distributiva}
\text{yes=Sí. Es un espacio vectorial}
\text{choices=\yes,\nozero,\adddef,\addneg,\multdef,\distrib}

\statement{Sea <i>S</i> el conjunto de puntos de la circunferencia
x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=1 en el plano cartesiano.
Para cualquier punto (x,y) de <i>S</i>, existe un número real <i>t</i> tal que
x=cos(<i>t</i>), y=sin(<i>t</i>). <p>
Definimos la suma y producto por escalares en
<i>S</i> como sigue:<ul>
<li>Si (cos(<i>t</i><sub>1</sub>),sin(<i>t</i><sub>1</sub>)) y
 (cos(<i>t</i><sub>2</sub>),sin(<i>t</i><sub>2</sub>))
 son dos puntos en <i>S</i>, su suma está definida por
 (cos(<i>t</i><sub>1</sub>+<i>t</i><sub>2</sub>),sin(<i>t</i><sub>1</sub>+<i>t</i><sub>2</sub>)).
<li>Si <i>p</i>=(cos(<i>t</i>), sin(<i>t</i>)) es un punto de <i>S</i>
 y si <i>a</i> es un número real, el producto de
 <i>p</i> por el escalar <i>a</i> está definido por
 (cos(<i>at</i>), sin(<i>at</i>)).
</ul>
¿Es <i>S</i> con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre
<b>R</b>?}


\choice{Su respuesta}{\multdef}{\choices}
\solution{En efecto, el producto no está bien definido.
Por ejemplo, tenemos 2&times;(1,0)=2&times;(-1,0)=(1,0). Por lo tanto
(1/2)&times;(1,0) llega a ser ambiguo, pues por la propiedad asociativa del
producto por escalares tendríamos que (1,0)=(-1,0).}
