\title{Producto escalar y altura}
   utilisation d'un produit scalaire pour déterminer la position 
   du pied d'une hauteur dans un triangle quelconque
\language{fr}
\author{René Chaffard}
\email{chafrene@club-internet.fr}
\computeanswer{no}
\format{html}
\precision{1000}

\text{sommet=random(a,b,c)}
   pour faire varier la présentation de l'exercice
\text{liste=shuffle(A,B,C)}
\text{A=\liste[1]}
\text{B=\liste[2]}
\text{C=\liste[3]}

\integer{c1=randint(2..8)}
\integer{c2=randint(2..8)}
\integer{min=abs(\c1-\c2)+1}
\integer{max=\c1+\c2-1}
\integer{c3=randint(\min..\max)}
   les trois côtés du triangle sont définis

\text{ps=simplify((\c1^2+\c2^2-\c3^2)/2)}
   calcul du produit scalaire

\text{k=maxima(simplify((\ps)/(\c2^2)))}
   l'affectation des côtés sera adaptée au ps et au dénominateur
   le ps est entre c1 et c2 et H étant toujours sur c2
\text{longueur=shuffle(\(\A\B = \c1 ) , \(\B\C = \c3) ,  \(\C\A = \c2))}

\statement{Se considera el triángulo \(ABC) tal que :
<p style="text-align:center">
\longueur[1],  \longueur[2], \longueur[3]. </p>
Sea \(H) le pie de la altura trazada desde el vértice \(\A). 
Calcular \(k)  tal que :
<p style="text-align:center">\( \overrightarrow{\B H} = k 
\overrightarrow{\B\C} )</p>
}

\answer{\(k)}{\k}{type=formal}

\solution{
Se calcula el producto escalar :
<p style="text-align:center">
\( \overrightarrow{\B\A} \cdot \overrightarrow{\B\C})</p>
que es igual a \ps.
Por tanto : <p style="text-align:center">\(\ps = k * \c2^2)</p>
}

\help{
Tres definiciones de producto escalar: <br>
<p style="text-align:center">\( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} 
= \frac{1}{2} ( AB^2 + AC^2 - BC^2 ) )
</p>
<p style="text-align:center">( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB AC cos( \hat{A} ) )
</p>
Si \(H) es el pie de la altura  trazada desde  \(C), entonces:<br/>
<p style="text-align:center">\( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
= \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{AB} = k AB^2 )
</p>
<i>adaptar esta igualdad a la cuestión propuesta</i>
}