\title{Distancia o ángulo entre dos planos}
\language{fr}
\range{-5..5}
\author{Bernadette PERRIN-RIOU}
\email{bpr@math.u-psud.fr}
\computeanswer{yes}
\format{html}
\precision{10000}
\integer{a=randint(-10..10)}
\integer{b=randint(-10..10)}
\integer{c=randint(-10..10)}
\if{(\a)^2+(\b)^2+(\c)^2=0}{\integer{c=randint(1..4)}}
\integer{x1=randint(-5..5)}
\integer{y1=randint(-5..5)}
\integer{z1=randint(-1..1)}
\integer{r=randint(1..5)*random(1,-1)}
\real{d=(\a)*(\x1)+(\b)*(\y1)+(\c)*(\z1)}
\text{par=random(1,2)}
\integer{u=\par=1 ? randint(-10..10): \r*(\a)}
\integer{v=\par=1 ? randint(-10..10): \r*(\b)}
\integer{w=\par=1 ? randint(-10..10): \r*(\c)}
\integer{u=(\u)^2+(\v)^2+(\w)^2=0? randint(1..4)}
  \integer{h=randint(-10..10)}
\function{equ1=simplify((\u)*x + (\v)*y + (\w)*z)}
\function{equ2=simplify((\a)*x + (\b)*y + (\c)*z)}
\real{cond=((\u)*(\b)-(\v)*(\a))^2+((\w)*(\b)-(\v)*(\c))^2+((\u)*(\c)-(\w)*(\a))^2}
\text{choix=paralelos, no paralelos}
\text{para=\cond=0 ? item(1,\choix): item(2,\choix)}
\real{sol=  \cond=0 ? 
abs((\u)*(\x1)+(\v)*(\y1)+(\w)*(\z1)-(\h))/((\u)^2+(\v)^2+(\w)^2)^(1/2):
(abs((\a)*(\u)+(\b)*(\v)+(\c)*(\w)))/(((\u)^2+(\v)^2+(\w)^2)^(1/2)*((\a)^2+(\b)^2+(\c)^2)^(1/2))}
\text{distan=\cond=0 ? distance:cosinus}
\steps{choice 1
reply 1}

\statement{Consideremos los dos planos de \(\RR^3) 
de ecuaciones respectivas \(\equ1  = \h) y \(\equ2 = \d).
\if{\step <= 1}{Los planos son \embed{choice 1}. 
}
\if{\step=2}{
  \if{\cond=0}{Calcular la distancia entre los dos planos paralelos. 
  }{Calcular el coseno del ángulo que forman los dos planos no pararlelos.}
  }
}
\choice{Los dos planos son}{\para}{\choix}
\answer{\distan}{\sol}{type=numeric}

\feedback{\reply1 <0 and \cond=0}{Una distancia es un número real positivo.}
\feedback{abs(\reply1)>1 and \cond<>0}{El coseno de un ángulo está comprendido entre -1 y 1. }
\hint{
\if{\cond <>0 and \step=2}{Para calcular el ángulo que forman dos planos  no paralelos, se puede calcular el ángulo que forman los dos vectores normales (perpendiculares) \(\vec{n}_1) y \(\vec{n}_2) respectivos a cada plano. El coseno del ángulo buscado está dado por  
<p><center>
 \(cos u= \frac{\vec{n}_1 . \vec{n}_2}{||\vec{n}_1||\ ||\vec{n}_2||})
</center>}
\if{\cond =0 and \step=2}{Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, se puede calcular la distancia de un punto de uno de ellos al otro plano.
 Es fácil deducir que si las ecuaciones de los planos son \(ax + by + cz = d_1) 
 et  \(ax + by + cz = d_2). La distancia entre los dos planos (paralelos) es igual a 
<center>\(\frac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}})
</center>}
}