### Circunferencia

Sea S el conjunto de todas las circunferencias del plano (cartesiano), con las reglas de adición y multiplicación por escalares definida como sigue.

- Si C1 (resp. C2) es una circunferencua de centro (x1,y1) (resp. (x2,y2) ) y radio $val19, C1 + C2 será la circunferencia de centro (x1+x2,y1+y2) y radio $val20.
- Si C es una circunferencia de centro (x,y) y radio $val21, y si a es un número real, entonces aC es una circunferencia de centro (ax,ay) y radio $val22.

¿Es S con la adición y multiplicación por escalares definida más arriba un espacio vectorial sobre el conjunto de los números reales?

### Espacio de aplicaciones

Sea S el conjunto de las aplicaciones

f: $val20 ---> $val21 ,

(i.e., del conjunto de los $val22 al conjunto de los $val23) con las reglas de adición y multiplicación por escalares como sigue:

- Si f1 y f2 son dos aplicaciones en S, f1+f2 es una aplicación f: :$val20 -> $val21 tal que f(x)=f1(x)+f2(x) para todo x perteneciente a $val20.
- Si f es una aplicación en S y si a es un número real, af es una aplicación de $val20 a $val21 tal que (af)(x)=a·f(x) para todo x perteneciente a $val20.

¿Es S con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre R ?

### Valor absoluto

Sea S el conjunto de parejas (x,y) de número reales. Definimos la suma y producto por escalares en S como sigue:

- Para cualquier (x$val17,y$val17) y (x$val18,y$val18) perteneciente a S, definimos (x$val17,y$val17)+(x$val18,y$val18) = (x$val17+x$val18,y$val17+y$val18).
- Para cualquier (x,y) perteneciente a S y cualquier número real a, definimos a(x,y) = (|a|x,|a|y).

¿Es S con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre R?

### Recta afín

Sea L una recta del plano cartesiano, definida por una ecuación c1x+c2y=c3, y sea $val19$val22=(x$val22,y$val22) un punto fijo de L.

Sea S el conjunto de puntos de L. Sobre S, definimos la suma y producto por escalares como sigue:

- Si $val19$val23=(x$val23,y$val23) y $val19$val24=(x$val24,y$val24) son dos elementos de S, definimos $val19$val23+$val19$val24 = $val25.
- Si $val19=(x,y) es un elemento de S y si $val18 es un número real, definimos $val18$val19 = $val26.

¿Es S con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre R?

### Suma alternada

Sea S el conjunto de parejas (x,y) de números reales. Definimos la suma y producto por escalares en S como sigue:

- Para cualquier (x$val17,y$val17) y (x$val18,y$val18) perteneciente a S, (x$val17,y$val17)+(x$val18,y$val18) = (x$val17+y$val18,y$val17+x$val18).
- Para cualquier (x,y) perteneciente a S y cualquier número real a, a(x,y) = (ax,ay).

¿Es S con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre R?

### Espacios

El conjunto de todos los $val23, junto con la suma y el producto usual, ¿es un espacio vectorial sobre el espacio de los $val22?

### Matrices

Sea el conjunto de las matrices reales . Sobre , tenemos definido el producto por escalares como sigue: $m_par Si es una matriz en , y si es un número real, el producto de por el escalar está definido por la matriz , donde .

¿Es junto con la suma usual y el producto por escalares definido más arriba un espacio vectorial sobre ?

### Matrices II

El conjunto de matrices con elementos $val23 y de $val27, junto con la suma y multiplicación usual, ¿es un espacio vectorial sobre el espacio de los $val22?

### Multiplicación/división

Sea S el conjunto de las parejas (x,y) de números reales. Definimos la suma y producto por escalares en S como sigue:

- Para cualquier (x$val17,y$val17) y (x$val18,y$val18) perteneciente a S, definimos (x$val17,y$val17)+(x$val18,y$val18) = (x$val17+x$val18,y$val17+y$val18).
- Para cualquier (x,y) perteneciente a S y cualquier número real a, definimos a(x,y) = (x/a , y/a) si a es no nulo, y 0(x,y)=(0,0) si a es nulo.

¿Es S con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre R?

### Números no nulos

Sea S un conjunto de números reales $val18. Definimos la suma y producto por escalares en S como sigue:

- Si x y y son dos elementos de S, la suma de x y y en S está definida por xy.
- Si x es un elemento de S y si a es un número real, el producto de x por el escalar a está definido por xa.

¿Es S con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre R?

### Trans-recta

Sea S el conjunto de las parejas (x,y) de números reales. Definimos la suma y el producto por escalares en S como sigue:

- Si (x$val17,y$val17) y (x$val18,y$val18) son dos elementos de S, su suma en S está definida por la pareja (x$val17+x$val18$val22,y$val17+y$val18$val23).
- Si (x,y) es un elemento de S, y si a es un número real, el producto de (x,y) por el escalar a en S está definido por la pareja (ax$val24($val26),ay$val25($val26)).

¿Es S con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre R?

### Trans-cuadrado

Sea S el conjunto de parejas (x,y) de números reales. Definimos la suma y producto por escalares en S como sigue:

- Para cualesquiera (x$val17,y$val17) y (x$val18,y$val18) perteneciente a S, (x$val17,y$val17)+(x$val18,y$val18) = (x$val17+x$val18,y$val17+y$val18$val21$val25$val17$val25$val18).
- Para cualquier (x,y) perteneciente a S y cualquier número real a, a(x,y) = (ax,ay$val22($val23)$val252).

¿Es S con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre R?

### Única circunferencia

Sea S el conjunto de puntos de la circunferencia x2+y2=1 en el plano cartesiano. Para cualquier punto (x,y) de S, existe un número real t tal que x=cos(t), y=sin(t).

Definimos la suma y producto por escalares en S como sigue:

- Si (cos(t1),sin(t1)) y (cos(t2),sin(t2)) son dos puntos en S, su suma está definida por (cos(t1+t2),sin(t1+t2)).
- Si p=(cos(t), sin(t)) es un punto de S y si a es un número real, el producto de p por el escalar a está definido por (cos(at), sin(at)).

¿Es S con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre R?