\title{Bases ortonormales}
\language{fr}
\range{-5..5}
\author{Bernadette PERRIN-RIOU}
\email{bpr@math.u-psud.fr}
\computeanswer{yes}
\format{html}
\precision{10000}

\text{v1=random(randint(1..2), randint(-2..-1)),random(randint(1..2), randint(-2..-1)),random(randint(1..2), randint(-2..-1))}
\text{v2=randint(-2..2),0,randint(-2..2)}
\text{v2=\v2
randint(-2..2),randint(-2..2),0}
\text{v2=\v2
0,randint(-2..2),randint(-2..2)}
\text{v2=randomrow(\v2)}

\steps{reply1, reply2,reply3
reply4,reply5,reply6}
\statement{Sea \(\RR^3) con el producto escalar usual que denotaremos por
\(< . , . >) y \(F) el subespacio vectorial generado por (\v1) y (\v2). 

\if{\step=1}{Construir una base ortogonal de  \(F) formada por los vectores
\(v_1), \(v_2)  con coeficientes enteros. 

Determinar una base \(v_3)  (coeficientes enteros) del ortogonal \(F^\perp) de \(F) .
<center>
\( F^\perp= \{(x , y , z) \in \RR^3, <(x , y , z) , f> = 0 \  {\rm pour } \     f \in F\}) 
</center>}

\if{\step=2}{Calcular la norma de los tres vectores \(v_1 = (\rep1)) ,  \(v_2 = (\rep2)) ,  \(v_3 = (\rep3)) que has encontrado.} 
}

\answer{Primer vector \(v_1)}{\rep1}{type=vector}
\answer{Segundo vector \(v_2)}{\rep2}{type=vector}
\answer{Vector \(v_3) del ortogonal}{\rep3}{type=vector}
\answer{Norma de \(v_1)}{\rep4}{type=numeric}
\answer{Norma de \(v_2)}{\rep5}{type=numeric}
\answer{Norma de \(v_3)}{\rep6}{type=numeric} 
\text{S=pari( print(matrank([\rep1;\rep2])))}
\text{S1=pari(print(matrank([\rep1;\v1;\v2])))}
\text{S2=pari(print(matrank([\rep2;\v1;\v2])))}
\real{S3=(item(1,\rep1))*(item(1,\rep2))+(item(2,\rep1))*(item(2,\rep2))+(item(3,\rep1))*(item(3,\rep2))}
\condition{Los dos vectores forman un sistema libre}{\S=2}
\condition{\(v_1) pertenece a  F}{\S1=2}
\condition{\(v_2) pertenece a F}{\S2=2}
\condition{\(v_1) y \(v_2) forman un abase ortogonal}{\S3=0}
\real{S0=(item(1,\rep3))^2+(item(2,\rep3))^2+(item(3,\rep3))^2}
\real{N3=(\S0)^(1/2)} 
\real{N1=((item(1,\rep1))^2+(item(2,\rep1))^2+(item(3,\rep1))^2)^(1/2)}
\real{N2=((item(1,\rep2))^2+(item(2,\rep2))^2+(item(3,\rep2))^2)^(1/2)}

\real{S4=(item(1,\v1))*(item(1,\rep3))+(item(2,\v1))*(item(2,\rep3))+(item(3,\v1))*(item(3,\rep3))}
\real{S5=(item(1,\v2))*(item(1,\rep3))+(item(2,\v2))*(item(2,\rep3))+(item(3,\v2))*(item(3,\rep3))}
\condition{El vector  \(v_3) es no nulo y pertenece al ortogonal de \(F)}
{\S4=0 and \S5=0 and \S0<>0}
\condition{Norma de \(v_1)=\rep4}{\N1=\rep4}
\condition{Norma de \(v_2)=\rep5}{\N2=\rep5}
\condition{Norma de \(v_3) =\rep6}{\N3=\rep6}