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Algunos enteros positivos pueden expresarse como suma de dos cuadrados, como
13=2<sup>2</sup>+3<sup>2</sup>; otros no, como por ejemplo 3 que no es suma de 
2 cuadrados. Algunos se pueden expresar de varias formas como suma de 2 cuadrados,
como 65=1<sup>2</sup>+8<sup>2</sup>=4<sup>2</sup>+7<sup>2</sup>.
<p>
Para determinar si un entero $m_n es suma de 2 cuadrados, tenemos el siguiente 
teorema.
<p>
<b>Teorema.</b><i> Sea n un entero positivo y sea
<p><center>
!instex $$$$ n = 2^{r} p_1^{s_1}...p_k^{s_k} q_1^{t_1}...q_l^{t_l} $$$$
</center> <p>
su factorización en factores primos, donde
p<sub>i</sub>&nbsp;$m_equiv&nbsp;</i>1&nbsp;&nbsp;(mod 4)<i>,
q<sub>i</sub>&nbsp;$m_equiv&nbsp;</i>3&nbsp;&nbsp;(mod 4)<i>.
Entonces, el número de descomposiciones de n, esencialmente diferentes en suma 
de 2 cuadrados es igual a la parte entera de </i>$m_delta/2<i>, donde
<p><center>
!instex $$$$ \delta = \left(\prod_{j=1}^k\left(s_j+1\right)\right)\
	\left(\prod_{j=1}^l {(-1)^{t_j}+1 \over 2}\right)\quad. $$$$
</center> <p>
En particular, n es suma de 2 cuadrados sí, y solo si
!set ins_align=middle
!instex $$$$ q_1^{t_1}...q_l^{t_l} $$$$
 es un cuadrado.
</i> <p>
El significado geométrico de este teorema es que 4$m_delta es igual al
número de puntos con coordenadas enteras en un círculo de radio
$m_surd$m_n.
<p>
Existen varias demostraciones de este teorema, una de las cuales usa el hecho de que
el álgebra de Gauss $m_ZZ[$m_i] es Euclidea y por tanto, de factorización única.
Toda descomposición $m_n=$m_x<sup>2</sup>+$m_y<sup>2</sup> es obviamente equivalente a la
condición $m_n=|$m_z|, es decir a la factorización
!instex $$ n=z\overline z$$
, donde $m_z=$m_x+$m_i$m_y es un elemento de $m_ZZ[$m_i].
<p>
Un entero primo $m_p es irreducible en $m_ZZ[$m_i] si
$m_p$(m_equiv)3&nbsp;(mod&nbsp;4). Por otra parte, si
$m_p$(m_equiv)1&nbsp;(mod&nbsp;4), $m_p se puede factorizar en factores irreductibles en
$m_ZZ[$m_i], en la forma $m_p=($m_x+$m_i$m_y)($m_x-$m_i$m_y), lo que nos da 
una única descomposición $m_p=$m_x<sup>2</sup>+$m_y<sup>2</sup> (única salvo
signo y orden). También, 2<sup>r</sup> tiene una descomposición única
0<sup>2</sup>+(2<sup>r/2</sup>)<sup>2</sup> si $m_r es par, o
(2<sup>(r-1)/2</sup>)<sup>2</sup>+(2<sup>(r-1)/2</sup>)<sup>2</sup>
si $m_r es impar.
<p>
Además, si $m_n<sub>1</sub> tiene una descomposición
$m_n<sub>1</sub>=$m_a<sup>2</sup>+$m_b<sup>2</sup>
y $m_n<sub>2</sub> tiene una descomposición
$m_n<sub>2</sub>=$m_c<sup>2</sup>+$m_d<sup>2</sup>, podemos escribir dos
descomposiciones para $m_n<sub>1</sub>$m_n<sub>2</sub> (no siempre
diferentes):
<p><center>
$m_n<sub>1</sub>$m_n<sub>2</sub>
= ($m_a$m_c+$m_b$m_d)<sup>2</sup>+($m_a$m_d-$m_b$m_c)<sup>2</sup>
= ($m_a$m_c-$m_b$m_d)<sup>2</sup>+($m_a$m_d+$m_b$m_c)<sup>2</sup>&nbsp;.
</center> <p>
Ahora, la unicidad de la factorización en $m_ZZ[$m_i] muestra fácilmente que
cualquier descomposición de $m_n<sub>1</sub>$m_n<sub>2</sub> es de esta forma.
Por inducción, podemos conocer todas las descomposiciones de $m_n si las
factorizaciones de $m_p<sub>$m_j</sub> en $m_ZZ[$m_i] son conocidas.
<p>
Para calcular la factorización de un número entero primo
$m_p$(m_equiv)1&nbsp;(mod&nbsp;4) en $m_ZZ[$m_i], primero buscaremos un
entero $m_a tal que
!instex $$ a^{p-1 \over 2}\equiv -1\; (\bmod\; p)$$
. Esto es fácil, ya que siempre,
!set ins_align=
!instex $$ a^{p-1 \over 2}\equiv 1 $$
 o&nbsp;-1&nbsp;(mod&nbsp;$m_p), siendo ambos casos igualmente probables.
Por tanto, solamente tendremos que probar, empezando por 2, uno por uno números enteros
hasta que encontremos uno que sea bueno, sabiendo que en general, no tendremos que realizar
demasiadas pruebas.
<p>
Ahora, sea $m_t un número entero tal que
!set ins_align=middle
!instex $$ t\equiv a^{p-1\over 4}\; (\bmod\; p)$$
, esto es, $m_t<sup>2</sup>+1$(m_equiv)0&nbsp;(mod&nbsp;$m_p).
Por otra parte, $m_p&nbsp;|&nbsp;($m_t+$m_i)($m_t-$m_i) en $m_ZZ[$m_i],
en particular mcd($m_p,$m_t+$m_i)$(m_ne)1. Como este mcd tampoco es igual
a $m_p , debe ser igual a uno de los dos factores irreducibles de $m_p
en $m_ZZ[$m_i]. Por tanto, es suficiente encontrar este mcd mediante una serie de 
divisiones euclídeas sucesivas en $m_ZZ[$m_i].
<p><b>Nota.</b> Al contrario que
!href module=tool/algebra/factor Factoris
, esta herramienta no comprueba rigurosamente si los factores encontrados por
PARI/GP son primos. Por tanto en algú csao (raro) donde algún pseudo-primo sea tomado
como número primo, la lista de descomposiciones puede ser incompleta.
<p>
!href cmd=help&special_parm=source Código fuente del programa
.&nbsp;
!href cmd=help&special_parm=example Ejemplos de descomposición
.
