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% Contents: Math typesetting with LaTeX
% $Id: math.tex 9927 2011-05-20 15:19:46Z ambs $
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\chapter{Fórmulas Matemáticas}

\begin{intro}
  Agora está pronto! Neste capítulo, vamos atacar a força principal do
  \TeX{}: escrita de matemática. Mas fique avisado: este capítulo só
  arranha este tópico superficialmente. Enquanto que as coisas aqui
  explicadas são suficientes para muitas pessoas, não desespere se não
  conseguir encontrar uma solução para a escrita da fórmula que
  precisa. Mas, quase de certeza que o seu problema está contemplado
  no \AmS-\LaTeX{}%
\end{intro}
  
\section{Os Pacotes \texorpdfstring{\AmS}{AMS}-\LaTeX}

Se precisa de escrever \wi{matemática} (avançada) de forma
profissional, deve usar o \AmS-\LaTeX{}. Os \AmS-\LaTeX{} é uma
colecção de pacotes e classes para a escrita matemática. Nós vamos
essencialmente lidar com o pacote \pai{amsmath} que faz parte deste
conjunto. O \AmS-\LaTeX{} é produzido pela \emph{Sociedade Americana
  para a Matemática}, e é bastante usada na escrita matemática. O
\LaTeX{}, por si só, providencia algumas funcionalidades básicas e
ambientes para a matemática, mas são limitados (ou então, é ao
contrário: o \AmS-\LaTeX{} é \emph{ilimitado}!) e em alguns casos
inconsistente.

O \AmS-\LaTeX{} está disponível em todas as distribuições recentes de
\LaTeX{}.\footnote{Se o seu não o inclui, visite
  \CTAN|macros/latex/required/amslatex|.} Neste capítulo vamos assumir
que o pacote \pai{amsmath} foi importado no preâmbulo;
\verb|\usepackage{amsmath}|.

\section{Fórmulas Simples}

Uma fórmula matemática pode ser escrita numa linha, em contexto com o
resto da frase (\emph{\wi{estilo texto}}), ou o parágrafo pode ser
dividido, colocando a fórmula em destaque (\emph{\wi{estilo montra}}). As
fórmulas \emph{dentro} de um parágrafo são introduzidas como \index{$@\texttt{\$}} %$
entre \texttt{\$} e \texttt{\$}:

\begin{example}
Adicione $a$ ao quadrado e $b$ 
ao quadrado para obter $c$ ao
quadrado. Ou, usando uma 
fórmula matemática:
$a^2 + b^2 = c^2$
\end{example}

\begin{example}
\TeX{} é pronunciado como
$\tau\epsilon\chi$.\\[5pt]
100~m$^{3}$ de água\\[5pt]
Isto vem do meu $\heartsuit$
\end{example}

Se precisar de usar fórmulas maiores, para serem apresentadas à
parte do resto do parágrafo, é preferível \emph{mostrá-la}. Para fazer isto,
deve colocar o código da sua fórmula matemática entre \verb|\begin{|\ei{equation}\verb|}| e
\verb|\end{|\ei{equation}\verb|}|.\footnote{Este é um comando \textsf{amsmath}. Se
não tiver acesso a este pacote por alguma razão obscura, pode usar o ambiente do próprio \LaTeX{}
denominado \ei{displaymath}.} Depois, pode adicionar uma etiqueta (\ci{label}), de modo
a que a fórmula seja numerada, e possa referir-se a ela em qualquer sítio do texto,
usando o comando \ci{eqref}. Se quiser dar um nome específico à fórmula, use o comando
\ci{tag}.

\begin{example}
Adicione $a$ ao quadrado e $b$
ao quadrado para obter $c$ ao
quadrado. Ou, usando uma
fórmula matemática:
\begin{equation}
  a^2 + b^2 = c^2
\end{equation}
Einstein diz que
\begin{equation}
  E = mc^2 \label{esperto}
\end{equation}
Ele não disse
\begin{equation}
  1 + 1 = 3 \tag{palerma}
\end{equation}
Esta é uma referência a
\eqref{esperto}.
\end{example}

Se não quiser que o \LaTeX{} numere as fórmulas, use a sua versão
\emph{estrelada} do \texttt{equation}, adicionando um asterisco,
\ei{equation*}, ou ainda mais simples, inclua a fórmula entre \ci{[} e
\ci{]}:\footnote{\index{equation!\textsf{amsmath}}\index{equation!\LaTeX{}}Esta
  funcionalidade é, de novo, do \textsf{amsmath}. O \LaTeX{} standard
  só tem a versão de \texttt{equation} sem o asterisco.}


\begin{example}
Adicione $a$ ao quadrado e
$b$ ao quadrado para obter
$c$ ao quadrado. Usando uma
aboragem matemática
 \begin{equation*}
   a^2 + b^2 = c^2
 \end{equation*}
ou pode escrever menos com o
mesmo efeito:
 \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
\end{example}

Enquanto que o uso de \ci{[} e \ci{]} é curto, não permite a fácil
troca entre a versão numerada e a não numerada, como ao usar
\ei{equation} e \ei{equation*}.

Note a diferença de estilo tipográfico entre fórmulas em \wi{estilo texto} e {estilo montra}:
\begin{example}
Estilo texto:
$\lim_{n \to \infty} 
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} 
= \frac{\pi^2}{6}$.
E este é o estilo montra:
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} 
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} 
= \frac{\pi^2}{6}
\end{equation}
\end{example}

Em estilo texto, coloque expressões matemáticas altas ou fundas, ou sub expressões,
dentro de \ci{smash}. Isto faz com que o \LaTeX{} ignore a altura destas expressões, 
mantendo o espaçamento.

\begin{example}
A expressão $d_{e_{e_p}}$ seguida
da expressão $h^{i^{g^h}}$,
comparada com a versão amassada
da expressão \smash{$d_{e_{e_p}}$}
seguida pela expressão
\smash{$h^{i^{g^h}}$}.
\end{example}

\subsection{Modo Matemático}

Existem diferenças entre o \emph{\wi{modo matemático}} e o \emph{modo de texto}.
Por exemplo, no \emph{modo matemático}:

\begin{enumerate}

\item \index{espaçamento!modo matemático} A maior parte dos espaços e
  mudanças de linha não têm qualquer significado, visto que todos os
  espaços ou são determinados logicamente da expressão matemática ou
  têm de ser especificados utilizando comandos tais como \ci{,},
  \ci{quad} ou \ci{qquad} (voltaremos a este assunto mais tarde, na
  secção~\ref{sec:math-spacing}).
 
\item Linhas em branco não são permitidas. Apenas um parágrafo por fórmula.

\item Cada letra é considerada como sendo o nome de uma variável e
  será escrita como uma. Se quer escrever um texto normal dentro de
  uma fórmula (texto verticalmente direito com espaçamento normal)
  então tem de introduzir o texto usando o comando \verb|\text{...}|
  (veja também a secção \ref{sec:fontsz} na página
  \pageref{sec:fontsz}).
\end{enumerate}

 \begin{example}
$\forall x \in \mathbf{R}:
 \qquad x^{2} \geq 0$
 \end{example}
 \begin{example}
$x^{2} \geq 0\qquad
 \text{para todo }x\in\mathbf{R}$
 \end{example}
 
Os matemáticos podem ser muito esquisitos com os símbolos que usam:
aqui será convencionado usar o `\wi{blackboard bold}',\index{símbolos
  gordos} que é obtidos usando \ci{mathbb} do pacote
\pai{amssymb}.\footnote{O \pai{amssymb} não faz parte do conjunto de
  pacotes do \AmS-\LaTeX, mas ainda deve fazer parte da sua
  distribuição de \LaTeX. Verifique-o, ou visite
  \texttt{CTAN:/fonts/amsfonts/latex/} para o obter.  }
\ifx\mathbb\undefined\else
 O último exemplo pode ser traduzido em
\begin{example}
$x^{2} \geq 0\qquad
\text{para todo }x\in\mathbb{R}$
\end{example}
\fi

Consulte a tabela~\ref{mathalpha} na página~\pageref{mathalpha} e
a tabela~\ref{mathfonts} na página~\pageref{mathfonts} para mais tipos
de letra em modo matemático.
 
\section{Construindo Blocos de Fórmulas Matemáticas}

Nesta secção serão descritos os comandos mais importantes usados em
impressões matemáticas. A maior parte dos comandos nesta secção não
precisam do pacote \textsf{amsmath} (se precisarem, serão claramente
indicado), mas importe-o de qualquer modo.

As \textbf{\wi{letras gregas} minúsculas } são introduzidas como \verb|\alpha|,
 \verb|\beta|, \verb|\gamma|, \ldots, as maiúsculas, são introduzidas como
 \verb|\Gamma|, \verb|\Delta|, \ldots\footnote{Não existem os comandos Alpha ou Beta maiúsculos
  definidos em \LaTeXe{} porque são idênticas às letras
  normais romanas, A, B\ldots{}}

Consulte a tabela~\ref{greekletters} na página~\pageref{greekletters}
para uma lista de todas as letras gregas disponíveis.
\begin{example}
$\lambda,\xi,\pi,\theta,
 \mu,\Phi,\Omega,\Delta$
\end{example}

%%

\textbf{Expoentes e Índices (subscritos ou sobrescritos)} podem ser
especificados usando\index{expoente}\index{índice} os caracteres
\verb|^|\index{^@\verb"|^"|} e \verb|_|\index{_@\verb"|_"|}. A maior parte
dos comandos matemáticos só actuam no carácter seguinte. Se precisar que
o comando afecte vários comandos, terá de os agrupar usando chavetas:
\verb|{...}|.

A tabela~\ref{binaryrel} na página~\pageref{binaryrel} lista vários símbolos para
relações binárias, como $\subseteq$ e $perp$.

\begin{example}
$p^3_{ij} \qquad 
m_\text{Knuth}\qquad
\sum_{k=1}^3 k \\[5pt]
a^x+y \neq a^{x+y}\qquad 
e^{x^2} \neq {e^x}^2$
\end{example}

A \textbf{\wi{raiz quadrada}} é introduzida como \ci{sqrt}; a raiz de
índice $n$ é gerada com \verb|\sqrt[|$n$\verb|]|. O tamanho do sinal
de raiz é determinado automaticamente pelo \LaTeX. se apenas precisa
do símbolo, deve utilizar \verb|\surd|.

Consulte a tabela~\ref{tab:arrows} na página~\pageref{tab:arrows} e
veja os diferentes tipos de setas como $\hookrightarrow$ e
$\rightleftharpoons$ suportados pelo \LaTeX.

\begin{example}
$\sqrt{x} \Leftrightarrow x^{1/2}
\quad \sqrt[3]{2}
\quad \sqrt{x^{2} + \sqrt{y}}
\quad \surd[x^2 + y^2]$
\end{example}

 
\index{pontos!três}
\index{vertical!pontos}
\index{horizontal!pontos}
Embora o símbolo \textbf{\wi{dot}} se use para indicar
a operação de multiplicação e seja habitualmente omitido,
por vezes é importante utilizá-lo, de modo a facilitar a
percepção da fórmula. Use \ci{cdot} para desenhar um ponto
centrado. \ci{cdots} são três pontos centrados, enquanto
\ci{ldots} coloca os pontos ao nível das letras (\emph{baseline}).
Além disso, existem os \ci{vdots} para pontos verticais
e \ci{ddots} para \wi{pontos na diagonal}. Existem mais
exemplos na secção~\ref{sec:arraymat}.

\begin{example}
$\Psi = v_1 \cdot v_2
 \cdot \ldots \qquad 
 n! = 1 \cdot 2 
 \cdots (n-1) \cdot n$
\end{example}

Os comandos \ci{overline} e \ci{underline} criam
\textbf{linhas horizontais} directamente por cima ou por baixo de uma expressão:
\index{horizontal!linha}\index{linha!horizontal}
\begin{example}
$0.\overline{3} = 
 \underline{\underline{1/3}}$
\end{example}

Os comandos \ci{overbrace} e \ci{underbrace} criam
\textbf{chavetas horizontais} longas por cima ou por 
baixo de uma expressão:\index{horizontal!chaveta}\index{chaveta!horizontal}
\begin{example}
$\underbrace{\overbrace{a+b+c}^6 
 \cdot \overbrace{d+e+f}^9}
 _\text{sentido da vida} = 42$
\end{example}

\index{matemática!acentos} Para adicionar acentos matemáticos, tais
como \textbf{pequenas setas} ou sinais \textbf{\wi{til}} a variáveis, pode usar os
comandos apresentados na tabela~\ref{mathacc} da página~\pageref{mathacc}.
Chapéus largos e sinais til a cobrir vários caracteres
são gerados com \ci{widetilde} e \ci{widehat}. Repare na
diferença entre \ci{hat} e \ci{widehat} e o modo como o \ci{bar} é
colocado para variáveis com subscritos. A marca de \wi{apóstrofe}
\verb|'|\index{'@\verb"|'"|} gera o símbolo de derivada:


\begin{example}
$f(x) = x^2 \qquad f'(x) 
 = 2x \qquad f''(x) = 2\\[5pt]
 \hat{XY} \quad \widehat{XY}
 \quad \bar{x_0} \quad \bar{x}_0$
\end{example}

Os \textbf{Vectores}\index{vectores} são habitualmente especificados
adicionando uma pequena \wi{seta} no topo das variáveis. Isto pode
ser feito com o comando \ci{vec}. Os dois comandos \ci{overrightarrow}
e \ci{overleftarrow} são úteis para desenhar vectores de $A$ para $B$:
\begin{example}
$\vec{a} \qquad
 \vec{AB} \qquad
 \overrightarrow{AB}$
\end{example}

Os nomes de funções matemáticas são, habitualmente, escritos em tipo
de letra vertical, e não em itálico, como as variáveis. Por isso, o
\LaTeX{} disponibiliza os seguintes comandos para escrever as funções matemáticas
mais comuns:
\index{matemática!funções}

\begin{tabular}{llllll}
 \ci{arccos} &  \ci{cos}  &  \ci{csc} &  \ci{exp} &  \ci{ker}    & \ci{limsup} \\
 \ci{arcsin} &  \ci{cosh} &  \ci{deg} &  \ci{gcd} &  \ci{lg}     & \ci{ln}     \\
 \ci{arctan} &  \ci{cot}  &  \ci{det} &  \ci{hom} &  \ci{lim}    & \ci{log}    \\
 \ci{arg}    &  \ci{coth} &  \ci{dim} &  \ci{inf} &  \ci{liminf} & \ci{max}    \\
 \ci{sinh}   & \ci{sup}   &  \ci{tan}  & \ci{tanh}&  \ci{min}    & \ci{Pr}     \\
 \ci{sec}    & \ci{sin} \\
\end{tabular}

\begin{example}
\begin{equation*}
  \lim_{x \rightarrow 0}
  \frac{\sin x}{x}=1
\end{equation*}
\end{example}

Para funções que possam não estar disponíveis na lista apresentada,
use o comando \ci{DeclareMathOperator}. Existe também uma versão
estrelada para funções com limites. Este comando só funciona no
preâmbulo, daí que as linhas comentadas no seguinte exemplo devem ser
colocados (sem os comentários) no preâmbulo do documento.

\begin{example}
%\DeclareMathOperator{\argh}{argh}
%\DeclareMathOperator*{\nut}{Nut}
\begin{equation*}
  3\argh = 2\nut_{x=1}    
\end{equation*}
\end{example}

Para a \wi{função módulo}, existem dois comandos: \ci{bmod} para o 
operador binário ``$a \bmod b$'' e \ci{pmod} para expressões
como ``$x\equiv a \pmod{b}$:''
\begin{example}
$a\bmod b \\
 x\equiv a \pmod{b}$
\end{example}

Uma \textbf{\wi{fracção}} é escrita com o comando
\ci{frac}\verb|{...}{...}|. Em fórmulas em modo texto, a fracção
é apertada para caber na linha. Este estilo também pode ser usado 
em estilo montra com o comando \ci{tfrac}. O contrário, isto é, o estilo
montra no meio do texto, é conseguido usando \ci{dfrac}.
Frequentemente a forma $1/2$ é preferível, porque fica melhor para 
pequenas fracções:

\begin{example}
No estilo montra:
\begin{equation*}
  3/8 \qquad \frac{3}{8} 
  \qquad \tfrac{3}{8}
\end{equation*}
 \end{example}

\begin{example}
No estilo texto:
$1\frac{1}{2}$~horas \qquad
$1\dfrac{1}{2}$~horas
\end{example}

Aqui o comando \ci{partial} é usado para representar \wi{derivadas parciais}:
\begin{example}
\begin{equation*} 
  \sqrt{\frac{x^2}{k+1}}\qquad
  x^\frac{2}{k+1}\qquad
  \frac{\partial^2f}
  {\partial x^2} 
\end{equation*}
\end{example}


Para escrever \wi{coeficientes binomiais} ou estruturas similares, use
o comando \ci{binom} do pacote \pai{amsmath}:

 
 \begin{example}
A regra de Pascal é
\begin{equation*}
 \binom{n}{k} =\binom{n-1}{k}
 + \binom{n-1}{k-1}
\end{equation*}
 \end{example}

 Para \wi{relações binárias} pode ser útil colocar símbolos uns por
 cima de outros. O comando \ci{stackrel}\verb|{#1}{#2}| coloca o
 símbolo dado no primeiro argumento (\verb|#1|) num tamanho parecido
 com o sobrescrito, sobre o argumento dado em segundo lugar
 (\verb|#2|), que é desenhado na sua posição usual:

 \begin{example}
\begin{equation*}
 f_n(x) \stackrel{*}{\approx} 1
\end{equation*}
 \end{example}

O \textbf{\wi{integral}} é gerado com \ci{int}, o
\textbf{\wi{somatório}} com \ci{sum} e o \textbf{\wi{produtório}} com
\ci{prod}. Os limites superiores e inferiores são especificados
com~\verb|^| e~\verb|_|, tal como os subescritos e os
sobrescritos:

 \begin{example}
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n \qquad
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \qquad
\prod_\epsilon
\end{equation*}
 \end{example}

Para ter maior controlo sobre a colocação de índices em expressões complexas,
o pacote \pai{amsmath} providencia o comando  \ci{substack}:
\begin{example}
\begin{equation*}
\sum^n_{\substack{0<i<n \\ 
        j\subseteq i}}
   P(i,j) = Q(i,j)
\end{equation*}
\end{example}

O \LaTeX{} coloca à disposição todo o tipo de símbolos para \textbf{\wi{parêntesis}}
e outros \wi{delimitadores} (por exemplo
$[\;\langle\;\|\;\updownarrow$).  Parêntesis curvos e rectangulares
podem ser introduzidos nas teclas correspondentes e as chavetas com
\verb|\{|, mas todos os outros delimitadores são gerados com comandos especiais (e.g.~\verb|\updownarrow|).
 \begin{example}
\begin{equation*}
{a,b,c} \neq \{a,b,c\}
\end{equation*}
 \end{example}

 Se colocar o comando \ci{left} antes do delimitador que abre ou um
 \ci{right} antes do delimitador que fecha, o \LaTeX{} irá determinar
 automaticamente o tamanho correcto do delimitador. Note que deve
 fechar cada \ci{left} com um \ci{right} correspondente. Se não quer
 um símbolo à direita, use o delimitador invisível `\ci{right.}'!
\begin{example}
\begin{equation*}
1 + \left(\frac{1}{1-x^{2}}
    \right)^3 \qquad 
\left. \ddagger \frac{~}{~}\right)
\end{equation*}
\end{example}

Em alguns casos é necessário especificar o tamanho correcto de um
delimitador matemático\index{matemática!delimitador} à mão, o que pode
ser feito usando os comandos \ci{big}, \ci{Big}, \ci{bigg} e \ci{Bigg}
como prefixos para a maior partes dos delimitadores:
\begin{example}
$\Big((x+1)(x-1)\Big)^{2}$\\
$\big( \Big( \bigg( \Bigg( \quad
\big\} \Big\} \bigg\} \Bigg\} \quad
\big\| \Big\| \bigg\| \Bigg\| \quad
\big\Downarrow \Big\Downarrow 
\bigg\Downarrow \Bigg\Downarrow$
\end{example}
Para uma lista de todos os delimitadores disponíveis, consulte a
tabela~\ref{tab:delimiters} na página~\pageref{tab:delimiters}.

\section{Fórmulas Matemáticas que são Demasiado Longas: Multilinha}
 
\index{fórmulas longas}
\label{sec:multline}

Se uma fórmula é demasiado longa, temos de a quebrar, de alguma forma.
Infelizmente, fórmulas que ocupem mais do que uma linha são, habitualmente,
menos legíveis. Para melhorar a leitura e interpretação de fórmulas quebradas
em mais que uma linha, existem algumas regras de como o fazer:
\begin{enumerate}
\item Geralmente, quebrar sempre \textbf{antes} de um sinal
  de igualdade ou de um operador.
\item Quebrar antes de um sinal de igualdade é preferível a quebrar
  antes de um operador.
\item Quebrar antes do sinal de adição ou de subtracção é preferível 
  a quebrar antes do operador de multiplicação.
\item Qualquer outra quebra deve ser evitada a todo o custo.
\end{enumerate}
A forma mais fácil de obter quebras de linha em modo matemático
é usando o ambiente \ei{multline}:\footnote{O ambiente \texttt{multline} é
do pacote \texttt{amsmath}.}
\begin{example}
\begin{multline}
  a + b + c + d + e + f 
  + g + h + i  
  \\
  = j + k + l + m + n 
\end{multline}
\end{example}

\noindent
A diferença para o ambiente \ei{equation}, é que o ambiente \ei{multline}
permite quebras de linha arbitrárias, adicionando \verb+\\+ nos sítios
em que a fórmula deve ser quebrada. De forma semelhante ao \ei{equation*},
também existe um \ei{multline*} que não numera as fórmulas.

Habitualmente o ambiente
\ei{IEEEeqnarray} (ver secção~\ref{sec:IEEEeqnarray})
irá apresentar melhores resultados. Considere a seguinte situação:
\begin{example}
\begin{equation}
  a = b + c + d + e + f 
  + g + h + i + j 
  + k + l + m + n + o + p  
  \label{eq:formula_muito_grande}
\end{equation}
\end{example}

\noindent
Neste outro exemplo, é o lado direito da fórmula que não cabe numa linha. O ambiente
\ei{multline} produz o seguinte resultado:
\begin{example}
\begin{multline}
  a = b + c + d + e + f 
  + g + h + i + j \\
  + k + l + m + n + o + p
\end{multline}
\end{example}

Embora melhor que \eqref{eq:formula_muito_grande}, tem a desvantagem
que o símbolo de igualdade perde a sua importância natural em relação
aos sinais de adição que seguem $k$. A melhor solução é usar o ambiente
\ei{IEEEeqnarray} que será discutido na secção~\ref{sec:IEEEeqnarray}.

\section{Múltiplas Fórmulas}
\index{fórmula!múltiplas}
\label{sec:IEEEeqnarray}

Na situação mais geral, temos uma sequência de várias igualdades que não cabem
numa única linha. Aqui precisamos de trabalhar com o alinhamento vertical,
de modo a manter a lista agradável e numa estrutura legível.

Antes de mostrar as nossas sugestões em como o fazer, começamos por apresentar
alguns maus exemplos que demonstram os maiores problemas em algumas soluções mais
comuns.

\subsection{Problemas com Comandos Tradicionais}
\label{sec:problems_traditional}

Para agrupar várias fórmulas o ambiente \ei{align}\footnote{O ambiente \texttt{align}
pode também ser usado para agrupar vários blocos de fórmulas, uns por baixo dos outros.
Um outro caso excelente para o ambiente \ei{IEEEeqnarray}. Teste um argumento como
\texttt{\{rCl+rCl\}}.} pode ser usado:
\begin{example}
\begin{align}
  a & = b + c \\
  & = d + e
\end{align}
\end{example}

Esta abordagem falha assim que uma linha é demasiado comprida:
\begin{example}
\begin{align}
  a & = b + c \\
  & = d + e + f + g + h + i 
  + j + k + l \nonumber \\
  & + m + n + o \\
  & = p + q + r + s
\end{align}
\end{example}
\noindent
Aqui, $+\:m$ deve estar por baixo de $d$ e não por baixo do sinal de igualdade.
Claro que podemos adicionar algum espaço (\verb+\hspace{...}+),
mas nunca irá garantir uma organização precisa (e é mau estilo\ldots).

Uma solução melhor é oferecida pelo ambiente \ei{eqnarray}:

\begin{example}
\begin{eqnarray}
  a & = & b + c \\
  & = & d + e + f + g + h + i 
  + j + k + l \nonumber \\
  && +\: m + n + o \\
  & = & p + q + r + s
\end{eqnarray}
\end{example}

Esta ainda não é óptima, já que os espaços à volta do sinal de igualdade são
demasiado grandes. Em particular, \textbf{não} são iguais aos espaços usados
nos ambientes \ei{multline} e \ei{equation}:
\begin{example}
\begin{eqnarray}
  a & = & a = a
\end{eqnarray}
\end{example}
\noindent\ldots e a expressão, por vezes, sobrepõe-se ao número da fórmula,
apesar de haver espaço suficiente à esquerda:
 \begin{example}
 \begin{eqnarray}
  a & = & b + c 
  \\
  & = & d + e + f + g + h^2 
  + i^2 + j 
  \label{eqnarray:confuso}
 \end{eqnarray}
 \end{example}
\noindent Enquanto que o ambiente oferece o comando \ci{lefteqn} que pode
ser usado quando o lado esquerdo é demasiado longo:
 \begin{example}
 \begin{eqnarray}
  \lefteqn{a + b + c + d 
    + e + f + g + h}\nonumber\\
  & = & i + j + k + l + m 
  \\
  & = & n + o + p + q + r + s
\end{eqnarray}
 \end{example}
\noindent o resultado também não é óptimo, quando o lado direito é demasiado curto, 
 não ficando correctamente centrado:
 \begin{example}
 \begin{eqnarray}
  \lefteqn{a + b + c + d 
    + e + f + g + h} 
  \nonumber \\
  & = & i + j 
 \end{eqnarray}
 \end{example}
\noindent Depois de ter dito mal suficiente sobre a concorrência, posso agora introduzir o glorioso\ldots

\subsection{Ambiente IEEEeqnarray}
\label{sec:IEEEeqnarray_intro}

O ambiente \ei{IEEEeqnarray} é bastante poderoso, e tem muitas opções.
Aqui, vamos apenas introduzir as suas funcionalidades básicas. Para
mais informação, devem consultar o manual.\footnote{O manual oficial é
  chamado \texttt{IEEEtran\_HOWTO.pdf}. A parte sobre o
  \texttt{IEEEeqnarray} pode ser encontrada no Apêndice~F.}

Antes de mais, de modo que possa utilizar o ambiente
\ei{IEEEeqnarray}, é preciso importar o pacote
\pai{IEEEtrantools}\footnote{O pacote \pai{IEEEtrantools} pode não
  estar disponível no seu sistema, mas pode ser encontrado no CTAN.}.
Inclua a seguinte linha no preâmbulo do seu documento: \small
\begin{verbatim}
\usepackage[retainorgcmds]{IEEEtrantools}
\end{verbatim}
\normalsize

A força do \ei{IEEEeqnarray} é a sua capacidade de especificar o
número de \emph{colunas}. Habitualmente, esta especificação será apenas
\verb+{rCl}+, ou seja, três colunas, a primeira alinhada à direita (``r'' de ``right''),
a segunda centrada com um pouco de espaço extra à sua volta (``C'' de ``center'', e maiúsculo
para indicar o espaço extra), e a terceira coluna, alinhada à esquerda (``l'' de ``left''):
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  a & = & b + c 
  \\
  & = & d + e + f + g + h 
  + i + j + k \nonumber\\
  && +\: l + m + n + o 
  \\
  & = & p + q + r + s
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}
\noindent qualquer número de colunas pode ser especificado:
\verb+{c}+ irá disponibilizar apenas uma coluna com todas as linhas centradas, ou
\verb+{rCll}+ irá adicionar uma quarta coluna, alinhada à esquerda, para comentários.
Mais, além de \texttt{l}, \texttt{c}, \texttt{r}, \texttt{L}, \texttt{C} e \texttt{R}
para entradas em modo matemático, também existem os \texttt{s}, \texttt{t} e \texttt{u}
para texto alinhado à esquerda, centrado, ou à direita. Espaços adicionais podem
ser indicados com um ponto \texttt{.}, uma barra \texttt{/} ou um ponto de interrogação
\texttt{?} (ordenados do espaço mais pequeno para o maior).\footnote{Para mais tipos
de espaçamento consulte a secção~\ref{sec:putting-qed-right}}
Repare nos espaços à volta dos sinais de igualdade, em comparação com o espaço 
produzido pelo ambiente \texttt{eqnarray}.

\subsection{Utilização Típica}
\label{sec:common-usage}

De seguida apresentaremos como usar o \texttt{IEEEeqnarray} para resolver
os problemas mais comuns.

Se uma linha se sobrepõe ao número da fórmula, como
no exemplo \eqref{eqnarray:confuso}, o comando
\small
\begin{verbatim}
\IEEEeqnarraynumspace
\end{verbatim} 
\normalsize
pode ser usado: deverá ser adicionado na linha correspondente, e garantirá
que toda a fórmula será deslocada para a esquerda, de acordo com a largura
necessária para colocar os números de fórmulas: em vez de
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  a & = & b + c 
  \\
  & = & d + e + f + g + h 
  + i + j + k 
  \\
  & = & l + m + n
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}
\noindent obtemos
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  a & = & b + c 
  \\
  & = & d + e + f + g + h 
  + i + j + k 
  \IEEEeqnarraynumspace\\
  & = & l + m + n.
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}

Se o lado esquerdo for demasiado longo, e como substituto do
comando \ci{lefteqn}, o \texttt{IEEEeqnarray} oferece o comando
\ci{IEEEeqnarraymulticol} que funciona em todas as situações:
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  \IEEEeqnarraymulticol{3}{l}{
    a + b + c + d + e + f 
    + g + h
  }\nonumber\\ \quad
  & = & i + j 
  \\
  & = & k + l + m
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}
A sua utilização é semelhante à do comando \ci{multicolumns} no ambiente
\texttt{tabular}. O primeiro argumento \verb+{3}+ especifica que três
colunas devem ser combinadas numa única, que será alinhada à esquerda \verb+{l}+.

Repare que ao inserir comandos \ci{quad} podemos facilmente adaptar a indentação
dos sinais de igualdade,\footnote{A minha opinião é que um quad é a distância
que fica melhor na maioria dos casos.} \emph{e.g.},
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  \IEEEeqnarraymulticol{3}{l}{
    a + b + c + d + e + f 
    + g + h
  }\nonumber\\ \qquad\qquad
  & = & i + j
  \\
  & = & k + l + m
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}

Se uma fórmula está dividida em duas ou mais linhas, o \LaTeX\ interpreta
o primeiro $+$ ou $-$ como um sinal (positivo ou negativo) em vez de o interpretar
como um operador. Daí que é necessário adicionar um espaço adicional \ci{:} entre
o operador e o termo: em vez de
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  a & = & b + c 
  \\
  & = & d + e + f + g + h 
  + i + j + k \nonumber\\
  && + l + m + n + o 
  \\
  & = & p + q + r + s
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}
\noindent deveremos escrever
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  a & = & b + c 
  \\
  & = & d + e + f + g + h 
  + i + j + k \nonumber\\
  && +\: l + m + n + o 
  \\
  & = & p + q + r + s
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}
\noindent Repare na diferença de espaçamento entre o $+$ e o $l$!.

Por vezes o espaçamento funciona automaticamente, \emph{e.g.}, quando
segue
\begin{itemize}
  \item um nome de função, como  \ci{log}, \ci{sin}, \ci{det},
    \ci{max}, \emph{etc.},
  \item um integral \ci{int} ou soma \ci{sum},
  \item um qualquer parentesis  com tamanho adaptativo 
    usando \ci{left} e \ci{right} (em contrapartida os parentesis normais
 ou de tamanho fixo, como \ci{big(}, não terão espaço),
 \end{itemize}
o $+$ ou $-$ não pode ser um sinal, mas terá de ser um operador.
Nestes casos o \LaTeX{} irá adicionar o espaçamento correcto e não será
necessário espaço adicional.

Se para uma linha em particular não quer um número de fórmula, o número
pode ser desactivado usando \ci{nonumber} (ou \ci{IEEEnonumber}).
Se numa destas linhas definir uma etiqueta \verb+\label{eq:...}+, então ela
será aplicada ao próximo número de fórmula que não tenha sido suprimido.
Coloque as etiquetas exactamente antes das quebras de linha \verb+\\+ ou perto
da fórmula a que pertence. À parte de melhorar a legibilidade do código fonte,
irá diminuir a probabilidade de erros de compilação na situação em que o comando
\ci{IEEEmulticol} seja executado depois da definição de etiqueta.

Existe uma versão estrelada, onde todos os números de fórmula
são suprimidos. Neste caso, pode forçar um número de fórmula usando o comando
\ci{IEEEyesnumber}:
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
  a & = & b + c \\
  & = & d + e \IEEEyesnumber\\
  & = & f + g
\end{IEEEeqnarray*}
\end{example}

\noindent Também é possível fazer sub-numeração, usando o comando \ci{IEEEyessubnumber}:
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  a & = & b + c 
  \IEEEyessubnumber\\
  & = & d + e 
  \nonumber\\
  & = & f + g 
  \IEEEyessubnumber  
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}

\section{Matrizes} \label{sec:arraymat}

Para  desenhar \textbf{matrizes}, use o ambiente \ei{array}. Funciona
de forma similar ao ambiente \texttt{tabular}. O comando \verb!\\! é
usado para quebrar linhas:
\begin{example}
  \begin{equation*}
    \mathbf{X} = \left( 
      \begin{array}{ccc}
        x_1 & x_2 & \ldots \\
        x_3 & x_4 & \ldots \\
        \vdots & \vdots & \ddots
      \end{array} \right)
  \end{equation*}
\end{example}

Também pode usar este ambiente para desenhar sistemas, usando um ponto ``\verb|.|''
como um delimitador \ci{right}  invisível:
\begin{example}
\begin{equation*}
  |x| = \left\{
    \begin{array}{rl}
      -x & \text{se } x < 0,\\
      0 & \text{se } x = 0,\\
      x & \text{se } x > 0.
    \end{array} \right.
\end{equation*}
\end{example}
O ambiente \ei{cases} do pacote \textsf{amsmath} simplifica, pelo que 
vale a pena dar-lhe alguma atenção:
\begin{example}
  \begin{equation*}
    |x| = 
    \begin{cases}
      -x & \text{se } x < 0,\\
      0 & \text{se } x = 0,\\
      x & \text{se } x > 0.
    \end{cases} 
\end{equation*}
\end{example}

Embora, como foi demonstrado no primeiro exemplo, se possam desenhar matrizes com delimitadores
usando o \ei{array}, o pacote \pai{amsmath} disponibiliza uma solução melhor, utilizando
diferentes ambientes \ei{matrix}. Existem seis versões, cada uma com delimitadores diferentes:
\ei{matrix} (nenhum), \ei{pmatrix} $($, \ei{bmatrix} $[$, \ei{Bmatrix} $\{$, \ei{vmatrix} $\vert$ e
\ei{Vmatrix} $\Vert$. Não é necessário especificar o número de colunas como com o \ei{array}.
O número máximo de colunas é 10, mas é configurável (embora não seja frequente que precise de
mais de 10 colunas!):
\begin{example}
\begin{equation*}
  \begin{matrix} 
    1 & 2 \\
    3 & 4 
  \end{matrix} \qquad
  \begin{bmatrix} 
    p_{11} & p_{12} & \ldots 
    & p_{1n} \\
    p_{21} & p_{22} & \ldots 
    & p_{2n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots 
    & \vdots \\
    p_{m1} & p_{m2} & \ldots 
    & p_{mn} 
  \end{bmatrix}
\end{equation*}
\end{example}

\section{Espaçamento em modo Matemático}
\label{sec:math-spacing}

\index{espaçamento matemático} Se os espaços escolhidos pelo \LaTeX{}
para colocar nas fórmulas não forem satisfatórios, podem ser ajustados
inserindo comandos especiais de espaçamento: \ci{,} para $\frac{3}{18}\:\textrm{quad}$
(\demowidth{0.166em}), \ci{:} para $\frac{4}{18}\: \textrm{quad}$
(\demowidth{0.222em}) e \ci{;} para $\frac{5}{18}\: \textrm{quad}$
(\demowidth{0.277em}).  Os caracteres \verb*.\ . geram um espaço de
tamanho médio comparável ao espaço entre palavras, e \ci{quad} (\demowidth{1em}) e \ci{qquad}
(\demowidth{2em}) produzem espaços largos.  O tamanho de um \ci{quad}
corresponde à largura do caracter `M' no tipo de letra actual. O
comando \verb|\!|\cih{"!} produz um espaço negativo de
$-\frac{3}{18}\:\textrm{quad}$ (\demowidth{0.166em}).
\begin{example}
\begin{equation*}
  \int_1^2 \ln x \mathrm{d}x 
  \qquad
  \int_1^2 \ln x \,\mathrm{d}x
\end{equation*}
\end{example}

Note que o `d' no diferencial é convencionalmente escrito em tipo de
letra romana. No próximo exemplo, vamos definir um novo comando \ci{ud} (``\emph{upright d}'', ``d vertical'') que produz ``$\,\mathrm{d}$'' (repare no espaçamento \demowidth{0.166em} antes do
$\text{d}$), de modo a que não o tenhamos de fazer todas as vezes. O \ci{newcommand} é
colocado no preâmbulo
\begin{example}
\newcommand{\ud}{\,\mathrm{d}}

\begin{equation*}
 \int_a^b f(x)\ud x 
\end{equation*}
\end{example}

Se pretender escrever vários integrais, irá descobrir que o espaçamento entre integrais
é demasiado grande. Pode corrigi-lo usando o comando \ci{!}, mas o pacote \pai{amsmath}
disponibiliza uma forma mais simples, nomeadamente os comandos
\ci{iint}, \ci{iiint}, \ci{iiiint}, e \ci{idotsint}.

\begin{example}
\newcommand{\ud}{\,\mathrm{d}}

\begin{IEEEeqnarray*}{c}
  \int\int f(x)g(y) 
                  \ud x \ud y \\
  \int\!\!\!\int 
         f(x)g(y) \ud x \ud y \\
  \iint f(x)g(y)  \ud x \ud y 
\end{IEEEeqnarray*}
\end{example}

Consulte a documentação electrónica \texttt{testmath.tex} (distribuído
com o \AmS-\LaTeX) ou o Capítulo 8 do \companion{} para mais detalhes.

\section{Fantasmas}

Quando se alinha texto verticalmente usando \verb|^| e \verb|_|, o
\LaTeX{} é, por vezes, demasiado prestável. Usando o comando
\ci{phantom} pode reservar espaço para caracteres que não aparecem no
resultado final. A forma mais fácil de compreender é ver um exemplo:
\begin{example}
\begin{equation*}
{}^{14}_{6}\text{C}
\qquad \text{versus} \qquad
{}^{14}_{\phantom{1}6}\text{C}
\end{equation*}
\end{example}
Se precisar de escrever muitos isótopos, como no exemplo, o pacote \pai{mhchem}
é muito útil facilitando a escrita de isótopos e fórmulas matemáticas.

\section{Brincar com Tipos de Letra em Matemática}\label{sec:fontsz}

Diferentes tipos de letra para o modo matemático estão listados na tabela~\ref{mathalpha}, na
página~\pageref{mathalpha}.

 \begin{example}
 $\Re \qquad
  \mathcal{R} \qquad
  \mathfrak{R} \qquad
  \mathbb{R} \qquad $  
 \end{example}

As últimas duas necessitam do pacote \pai{amssymb} ou \pai{amsfonts}.

Por vezes, precisa de dizer ao \LaTeX{} o tamanho correcto a utilizar.
Em modo matemático, o tamanho é especificado com um dos quatro
comandos:
\begin{flushleft}
\ci{displaystyle}~($\displaystyle 123$),
 \ci{textstyle}~($\textstyle 123$), 
\ci{scriptstyle}~($\scriptstyle 123$) e
\ci{scriptscriptstyle}~($\scriptscriptstyle 123$).
\end{flushleft}

Se um somatório $\sum$ for colocado numa fracção, será desenhado em
modo texto (mais compacto) a não ser que indique ao \LaTeX{} para não
o fazer:

 \begin{example}
\begin{equation*}
 P = \frac{\displaystyle{ 
   \sum_{i=1}^n (x_i- x)
   (y_i- y)}} 
   {\displaystyle{\left[
   \sum_{i=1}^n(x_i-x)^2
   \sum_{i=1}^n(y_i- y)^2
   \right]^{1/2}}}
\end{equation*}    
 \end{example}
 A mudança de estilos geralmente afecta o modo como operadores grandes
 e limites são mostrados.

% This is not a math accent, and no maths book would be set this way.
% mathop gets the spacing right.

\subsection{Símbolos a Negrito}
\index{símbolos em negrito}\index{negrito!símbolos}

É bastante difícil obter símbolos em negrito em \LaTeX{}; possivelmente
isto é intencional, já que um amador terá tendência a exagerar no seu uso.
O comando de mudança de tipo de letra \verb|\mathbf| permite obter letras
a negrito, mas apenas letras romanas. Normalmente os símbolos matemáticos são em
itálico, e além do mais, não funciona em letras gregas minúsculas.
Existe um comando \ci{boldmath}, mas \emph{só pode ser usado fora
do modo matemático}. No entanto, também funciona para símbolos:
\begin{example}
$\mu, M \qquad 
\mathbf{\mu}, \mathbf{M}$
\qquad \boldmath{$\mu, M$}
\end{example}

O pacote \pai{amsbsy} (incluído pelo pacote \pai{amsmath}), bem como o 
pacote \pai{bm} do conjunto de pacotes chamado \texttt{tools}, dão-nos alternativas
mais simples, já que incluem o comando \ci{boldsymbol}:

\begin{example}
$\mu, M \qquad
\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{M}$
\end{example}

\section{Teoremas, Lemas, \ldots}

Ao escrever documentos matemáticos, provavelmente precisa de uma forma
de escrever ``Lemas'', ``Definições'', ``Axiomas'' e estruturas similares.
O \LaTeX{} suporta isto com o comando
\begin{lscommand}
\ci{newtheorem}\verb|{|\emph{nome}\verb|}[|\emph{contador}\verb|]{|%
         \emph{texto}\verb|}[|\emph{secção}\verb|]|
\end{lscommand}
O argumento \emph{nome} é uma pequena palavra chave usada para
identificar o ``teorema''. Com o argumento \emph{texto} pode definir
o verdadeiro nome do ``teorema'', que será impresso no documento final.

Os argumentos entre parêntesis rectos são opcionais. São ambos usados
para especificar a numeração usada no ``teorema''. Com o argumento
\emph{contador} pode especificar o \emph{nome} do ambiente ``teorema''.
O novo ``teorema'' será então numerado com a sua própria 
sequência.  O argumento \emph{secção} permite especificar a unidade de
secção com o qual queremos que o ``teorema'' seja numerado.

Depois de executar o comando \ci{newtheorem} no preâmbulo do documento,
pode usar o seguinte comando durante o documento:
\begin{code}
\verb|\begin{|\emph{nome}\verb|}[|\emph{texto}\verb|]|\\
Este é o meu interessante teorema\\
\verb|\end{|\emph{nome}\verb|}|     
\end{code}

O pacote \pai{amsthm} (parte do \AmS-\LaTeX) tem o
\ci{newtheoremstyle}\verb|{|\emph{estilo}\verb|}| que permite definir
como o teorema irá funcionar, podendo-se escolher um de três estilos
pré-definidos: \texttt{definition} (título gordo, corpo em tipo de
letra \emph{roman}), \texttt{plain} (título gordo, corpo em itálico)
ou \texttt{remark} (título em itálico, corpo em tipo de letra
\emph{roman}).

Isto deve ser teoria suficiente. Os exemplos seguintes deverão
 remover quaisquer dúvidas e mostrar que o ambiente
\verb|\newtheorem| é demasiado complexo para se compreender.

% actually define things
\theoremstyle{definition} \newtheorem{law}{Lei}
\theoremstyle{plain}      \newtheorem{jury}[law]{Júri}
\theoremstyle{remark}     \newtheorem*{marg}{Margarida}
 
Primeiro definem-se os teoremas:

\begin{verbatim}
\theoremstyle{definition} \newtheorem{law}{Lei}
\theoremstyle{plain}      \newtheorem{jury}[law]{Júri}
\theoremstyle{remark}     \newtheorem*{marg}{Margaridat}
\end{verbatim}


\begin{example}
\begin{law} \label{law:box}
Não te escondas na caixa.
\end{law}
\begin{jury}[O décimo]
Podes ser tu! Portanto, cautela
e vê a lei~\ref{law:box}.\end{jury}
\begin{marg}Não, Não, Não\end{marg}
\end{example}

O teorema ``Júri'' usa o mesmo contador que o teorema ``Lei''.  Desta
forma, obtém um número que está em sequência com a outra ``Lei''.  O
argumento em parêntesis rectos é usado para especificar um título ou
algo parecido para o teorema.

\begin{example}
\newtheorem{mur}{Murphy}[section]
\begin{mur} Se existirem duas
ou mais maneiras de realizar
algo, e uma delas puder
resultar em catástrofe, então
alguém a irá executar.\end{mur}
\end{example}

O teorema de ``Murphy'' fica com um número que é ligado ao número da secção actual.
Também pode usar outra unidade como, por exemplo, capítulo ou subsecção.

Se quiser configurar os seus teoremas até à última pitada, o pacote
\pai{ntheorem} oferece uma abundância de opções.

\subsection{Símbolos de Provas e Fim-de-Prova}
\label{sec:putting-qed-right}

O pacote \pai{amsthm} também disponibiliza o ambiente \ei{proof}.
 
 \begin{example}
 \begin{proof}
É trivial, use
 \begin{equation*}
   E=mc^2.
 \end{equation*}
 \end{proof}
 \end{example}

Com o comando \ci{qedhere} pode mover o `símbolo de final de prova' de sítio
em casos em que ele iria aparecer por si só numa linha.
 
 \begin{example}
 \begin{proof}
É trivial, use
 \begin{equation*}
   E=mc^2. \qedhere
 \end{equation*}
 \end{proof}
 \end{example}

Infelizmente, esta correcção não funciona com o \texttt{IEEEeqnarray}:
\begin{example}
\begin{proof}
  Esta prova termina com
  um IEEEeqnarray:
  \begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
    a & = & b + c \\
    & = & d + e. \qedhere
  \end{IEEEeqnarray*}  
\end{proof}
\end{example}
\noindent
A razão para isto acontecer tem que ver com a estrutura interna do \texttt{IEEEeqnarray}:
internamente são sempre colocadas duas colunas invisíveis, uma de cada lado, que só contêm 
espaço elástico. Deste modo o \texttt{IEEEeqnarray} garante que a fórmula é centrada
horizontalmente. Daí que o comando \ci{qedhere} deve ser colocado \emph{fora} deste
espaço, mas isto não acontece já que estas colunas são invisíveis para o utilizador.

Existe uma solução bastante simples: definir a elasticidade manualmente:
\begin{example}
\begin{proof}
  Esta prova termina com
  um IEEEeqnarray:
  \begin{IEEEeqnarray*}{+rCl+x*}
    a & = & b + c \\
    & = & d + e. & \qedhere
  \end{IEEEeqnarray*}  
\end{proof}
 \end{example}
\noindent
Repare que o \verb=+= em \verb={+rCl+x*}= representa espaços elásticos,
um à esquerda da fórmula (que, se não for especificado, será feito
automaticamente pelo \texttt{IEEEeqnarray}!) e um à direita da fórmula. Mas agora,
à direita, \emph{depois} da coluna elástica, adicionamos uma coluna vazia \verb+x+. 
Esta coluna será só precisa na última linha, para colocar lá o comando \ci{qedhere}.
Finalmente, especificamos um \verb=*=, que é um espaço vazio (nulo), que garante que
o \texttt{IEEEeqnarray} não adiciona o espaço elástico automático!

No caso da numeração de funções, existe um problema semelhante. Compare
\begin{example}
\begin{proof}
  Esta prova termina com 
  uma fórmula numerada:
  \begin{equation}
    a = b + c.
  \end{equation}
\end{proof}
\end{example}
\noindent
com
\begin{example}
\begin{proof}
  Esta prova termina com 
  uma fórmula numerada:
  \begin{equation}
    a = b + c. \qedhere
  \end{equation}
\end{proof}
\end{example}
 \noindent
repare que na segunda versão (correcta), o $\Box$ está bastante mais próximo
da fórmula do que na primeira versão.

De forma semelhante, a forma correcta de colocar um símbolo de prova no fim de
uma fórmula multi-linha é:

\begin{example}
\begin{proof}
  Esta prova termina com
  um IEEEeqnarray:
  \begin{IEEEeqnarray}{+rCl+x*}
    a & = & b + c \\
    & = & d + e. \\
    &&& \qedhere\nonumber
  \end{IEEEeqnarray}  
\end{proof}
\end{example}
\noindent
em comparação com
\begin{example}
\begin{proof}
  Esta prova termina com
  um IEEEeqnarray:
  \begin{IEEEeqnarray}{rCl}
    a & = & b + c \\
    & = & d + e.
  \end{IEEEeqnarray}  
\end{proof}
\end{example}




%

% TeX-master: "lshort"
% mode: latex
% mode: flyspell
% End:



