\chapter{Grafiktutorial}\label{lagratut}
\markboth{Grafiktutorial}{Grafiktutorial}
\subsubsection{Grundlagen: Punkte, Linien, Einheiten und Macropakete}
\dvi\ und \dvilw\ erzeugen ihre Grafiken dadurch, da"s man
einige Punkte durch ihre Positionen definiert und diese dann durch
verschiedene Linien miteinander verbindet oder durch verschieden
dicke Punkte sichtbar macht. Dazu folgendes Plain-\TeX-Beispiel:

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\leftline{\hskip 3cm\special{gr setpoint 0}}
\rightline{\special{gr setpoint 1; poly 0,1}
  \hskip 3cm}
\end{verbatim}
\end{quote}
\marginlabel{
%\begin{figure}[hbtp]
\leftline{\hskip 0.2cm\special{gr setpoint 0}}
\rightline{\special{gr setpoint 1; poly 0,1}\hskip 0.2cm}
%\caption{Erste Grafik}\label{la1}
%\end{figure}
}

Dadurch entsteht eine "ahnliche Abbildung wie links.

Verwendet wurden in diesem Beispiel zwei \verb|\special|-Befehle
des Treibers, n"amlich \verb|setpoint|, womit die Positionen der
Punkte 0 und 1 festgelegt wurden und \verb|poly|, der die Verbindung
der beiden Punkte 0 und 1 durch eine Gerade zeichnete.
Um die Positionierung etwas zu erleichtern,
werden folgende \TeX-Macros und Variablen f"ur Plain-\TeX\ definiert:

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\newdimen\unitlength \unitlength = 1pt
\def\setunitlength#1{%
  \unitlength=#1\special{gr setunitlength #1}}

\def\picture(#1,#2)#3{\vbox to #2\unitlength{\vss\hbox 
  to #1\unitlength{#3\hss}}}

\def\put(#1,#2)#3{\unskip\raise#2\unitlength\hbox 
  to 0pt{\kern#1\unitlength#3\hss}\ignorespaces}
\end{verbatim}
\end{quote}

F"ur \LaTeX\ ist nat"urlich die Definition der Macros \verb|\picture| und
\verb|\put| un\-n"o\-tig, da das \verb|picture|-Environment genau dasselbe
leistet. Der n"achste Absatz mu"s deshalb von \LaTeX-Anwendern
"ubersetzt werden, d.h.\ mit den notwendigen \verb|\begin{}| und
\verb|\end{}|-Zus"atzen versehen werden.

Die neue Variable \verb|\unitlength| gibt die Ma"seinheit an, in der
alle Punktekoordinaten angegeben werden k"onnen. Das Macro \verb|\setunitlength|
dient der Ver"anderung dieser Ma"seinheit, zus"atzlich wird
den Treibern diese Ver"anderung "uber das Grafik-Kommando
\verb|setunitlength| mitgeteilt. Es ist wichtig, sich dar"uber klarzuwerden,
da"s
die \TeX-Variable \verb|\unitlength| f"ur die Treiber unbekannt ist, und
nur f"ur die beiden Macros \verb|\picture| und \verb|\put| von Bedeutung ist.
Alternativ ist auch die Verwendung von absoluten L"angenangaben, wie sie
\TeX\ versteht (z.B.\ 1.1~{\it cm}, 5~{\it pt}), erlaubt.

Mit \verb|\picture(w,h)| wird Platz f"ur ein Bild der Breite \verb|w| und
der H"ohe \verb|h| geschaffen. Mit \verb|\put(x,y)| k"onnen Bildelemente
innerhalb von \verb|\picture| positioniert werden.
Beispiel: Die Befehle

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\setunitlength{1cm}
\centerline{\picture(3,2){\put(0,0){a}\put(3,2){b}}}
\end{verbatim}
\end{quote}

\marginlabel{
%\begin{figure}[hbtp]\centering
\setunitlength{1cm}
\begin{picture}(3,2)
\put(0,0){a}\put(3,2){b}
\end{picture}
%\caption{Demonstration der {\tt picture} und {\tt put} Befehle}\label{la2}
%\end{figure}
}
erzeugen das Bild links.

Anstatt der Buchstaben a und b sollen nun die Endpunkte einer
Geraden an dieselben Stellen gesetzt werden. Dies geschieht mit folgenden
Befehlen, die das Bild links liefern:
\marginlabel{
%\begin{figure}[hbtp]\centering
\setunitlength{1cm}
\begin{picture}(3,2)
\put(0,0){\special{gr setpoint 0}\ignorespaces}
\put(3,2){\special{gr setpoint 1; poly 0,1}\ignorespaces}
\end{picture}
%\caption{Gerade}\label{la3}
%\end{figure}
}

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\setunitlength{1cm}
\centerline{\picture(3,2){
  \put(0,0){\special{gr setpoint 0}}
  \put(3,2){\special{gr setpoint 1; poly 0,1}}}}
\end{verbatim}
\end{quote}

\subsubsection{Punktdefinitionen f"ur fortgeschrittene Aufgaben}
Es ist jedoch nicht n"otig, jede einzelne Punkteposition durch einen
neuen \verb|\special|-Befehl festzulegen, vielmehr ist das Kommando
\verb|setpoint| selbst in der Lage, Punktpositionen durch Angabe von
Koordinaten zu definieren. Das obige Bild h"atte auch so erzeugt werden 
k"onnen:

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\setunitlength{1cm}
\centerline{\picture(5,2){\special{gr setpoint 0 1[4,2];
  poly 0,1}}}
\end{verbatim}
\end{quote}

Dieses Beispiel soll zeigen, da"s es m"oglich ist, beliebig viele
Punktpositionen durch ein einziges \verb|setpoint|-Kommando festzulegen.
Zum anderen sieht man, da"s es m"oglich ist, zur Punktenummer zus"atzlich
eine $x$- und eine $y$-Koordinate anzugeben. Die Ma"seinheit dieser
Koordinatenangaben wird durch das Kommando \verb|setunitlength|
festgelegt, falls die Angaben Gleitpunktwerte sind. Wahlweise k"onnte
auch eine andere g"ultige \TeX-L"angenangabe wie {\tt 0.3 true cm} benutzt werden.
In diesem Fall wurden die Offsets durch das \TeX-Macro \verb|\setunitlength|
festgelegt.

Eine weitere M"oglichkeit, das obige Bild zu erzeugen, ist:

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\setunitlength{1cm}
\centerline{\picture(5,2){\special{gr setpoint 0, [4,2];
  poly 0,1}}}
\end{verbatim}
\end{quote}

Wie man sieht, ist die Punktenummer des zweiten gesetzten Punktes
weggelassen, allerdings steht nun ein Komma zwischen beiden Angaben, da
dies sonst wie \verb|0[4,2]| gelesen w"urde. 
Werden Punktenummern nicht angegeben, so numerieren \dvi\ und
\dvilw\ die Punkte automatisch in aufsteigender Reihenfolge.
Dies erm"oglicht auch folgende Eingabe:

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\setunitlength{1cm}
\centerline{\picture(5,2){
  \special{gr setpoint [0,0] [4,2]; poly @2}}}
\end{verbatim}
\end{quote}

Hier sind "uberhaupt keine Punktenummern mehr angegeben. Nat"urlich ist
diesem Zusammenhang nicht mehr unbedingt klar, welche Punktenummern
der Treiber verwendet hat, denn dies h"angt ja davon ab, welche
Punktenummern in vorangegangenen Bildern verwendet wurden.
Deshalb wurde im \verb|poly|-Kommando anstatt einer Liste von Punkten
der Ausdruck \verb|@2| verwendet, der besagt, da"s die Punkteliste
aus den beiden zuletzt gesetzten Punkten besteht.
Auch der Ausdruck \verb|@-2| w"are an dieser Stelle m"oglich gewesen. In diesem
Fall w"are der interne Punktez"ahler des Treibers wieder um den Wert~2 
zur"uckgesetzt worden.

Die \marginlabel{
%\begin{figure}[hbtp]\centering
\setunitlength{1cm}
\begin{picture}(3,3)
\special{gr setpoint 0, [3,3], [0,3]; poly 0,1; poly [0,1]1/2, 2;}
\end{picture}
%\caption{Linearkombination von Punkten}\label{la4}
%\end{figure}
}
n"achste Aufgabe besteht darin, Punkte auf einer Linie als Ausgangspunkte
anderer Linien zu verwenden, wie links im Bild zu sehen ist.

Der Code, der dieses Bild  erzeugte, hat folgendes Aussehen:

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\setunitlength{1cm}
\centerline{\picture(3,3){
  \special{gr setpoint 0, [3,3], [0,3];
    poly 0,1; poly [0,1]1/2, 2;}}}
\end{verbatim}
\end{quote}

Setzt man statt einer Punktnummer den Ausdruck $[p,q]\lambda$ ein,
so wird damit der Punkt $p(1-\lambda)+q\lambda$ spezifiziert.
\verb|[0,1]1/2| ist also der Punkt genau in der Mitte zwischen den Punkten
0 und 1. F"ur $\lambda$
\marginlabel{
%\begin{figure}[hbtp]\centering
\setunitlength{1cm}
\begin{picture}(3,3)
\special{gr setpoint 0[0,2] [1,2] [1,3] [0,3]
[2,0] [3,0] [3,1] [2,1]; closedpoly 0-3; closedpoly 4-7}
\end{picture}
%\caption{Zwei Quadrate}\label{la5}
%\end{figure}
}
kann "ubrigens ein beliebiger Ausdruck\footnote{Lesen Sie dazu auch den
Abschnitt "uber Ausdr"ucke}
stehen, der z.B.\ aus reellen Zahlen, den vier Grundrechenarten und runden
Klammern gebildet wird. Anstatt der Punktenummern $p$ und $q$ kann
auch wieder ein Ausdruck der Form $[p',q']\lambda'$ stehen.

Jetzt soll folgendes Problem gel"ost werden: Zwei Quadrate sind
wie in der Abbildung links gegeben, die "ubrigens folgenderma"sen
erzeugt wurde:

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\setunitlength{1cm}
\centerline{\picture(3,3){
  \special{gr setpoint 0[0,2] [1,2] [1,3] [0,3]
                        [2,0] [3,0] [3,1] [2,1];
              closedpoly 0-3; closedpoly 4-7}}}
\end{verbatim}
\end{quote}

\marginlabel{
%\begin{figure}[hbtp]\centering
\setunitlength{1cm}
\begin{picture}(3,3)
\special{gr setpoint 0[0,2] [1,2] [1,3] [0,3]
[2,0] [3,0] [3,1] [2,1]; closedpoly 0-3; closedpoly 4-7;
setlinecap round arrow; poly [0,1]1/2, ([0,1]1/2,[4,7]1/2), [4,7]1/2}
\end{picture}
%\caption{Verbindungsgerade halbautomatisch}\label{la6}
%\end{figure}
}
Das linke obere Quadrat hat die Eckpunkte 0,1,2,3 das rechte untere
die Eckpunkte 4,5,6,7. Nun soll ein Pfeil von der Mitte der Unterkante
des linken Quadrats zur Mitte der linken Kante des rechten Quadrats gezeichnet 
werden. Dies geschieht durch folgenden zus"atzlichen Befehl im 
\verb|\special|-Kommando mit dem Ergebnis, das links zu sehen
ist.

\begin{quote}
\begin{verbatim}
setlinecap round arrow;
poly [0,1]1/2, ([0,1]1/2,[4,7]1/2), [4,7]1/2
\end{verbatim}
\end{quote}

Die Schreibweise $(p,q)$ spezifiziert einen Punkt, der die
$x$-Koordinate von $p$ und die $y$-Koordinate von $q$ besitzt.
Selbstverst"andlich kann auch diese Schreibweise wieder beliebig
geschachtelt werden. Das Kommando {\tt set\-li\-ne\-cap round arrow} dient
lediglich der Darstellung von Pfeilspitzen am hinteren Ende einer Linie.
Die verschiedenen M"oglichkeiten, Linienenden zu gestalten, werden sp"ater
gesondert besprochen. Eine andere M"oglichkeit, den Pfeil zu erhalten,
stellt folgendes \dvi/\dvilw-Kommando dar:

\begin{quote}
\begin{verbatim}
poly [0,1]1/2, (@,[4,7]1/2), (4,@)
\end{verbatim}
\end{quote}

Das Symbol {\tt @} steht bei einem Linienkommando wie \verb|poly|
f"ur den in der Punkteliste zuletzt spezifizierten Punkt, im ersten
Fall also f"ur den Punkt {\tt [0,1]1/2} und im zweiten Fall f"ur den
Punkt {\tt ([0,1]1/2,[4,7]1/2)}.

\subsubsection{Das Zeichnen von Punkten}
Bisher wurden die verwendeten Punkte als mathematisches Objekt ohne
r"aumliche Ausdehnung betrachtet und durch Linien verbunden.
Es ist \marginlabel{
%\begin{figure}[hbtp]\centering
\setunitlength{1cm}
\begin{picture}(3,3)
\special{gr setpoint 0[0,2] [1,2] [1,3] [0,3]
[2,0] [3,0] [3,1] [2,1]; dot 0-7}
\end{picture}
%\caption{Punkte}\label{la5a}
%\end{figure}
}
jedoch auch m"oglich, an Punktepositionen gef"ullte Kreise mit beliebigen
Durchmesser zu zeichnen. Hierzu werden die Befehle {\tt dot} und {\tt
setdotsize} verwendet. Wenn dieselben Punkte, die schon im Bild mit
den Quadraten verwendet wurden, als Grafikpunkte der Dicke~$2.4$~{\it pt\/}
dargestellt werden, ergibt sich das Bild links. Im Code wurden lediglich
die beiden {\tt closedpoly}-Anweisungen durch {\tt dot 0-7} ersetzt.

\subsubsection{Das Zeichnen von Linien}
Die nun folgenden Beispiele sollen zeigen, welche M"oglichkeiten
bestehen, verschiedene Kurven durch definierte Punkte zu ziehen.
Zun"achst seien die folgenden 5 Punkte definiert:

\begin{quote}
\begin{verbatim}
setpoint 0[1,0] [2,0] [2,1] [0,1] [0,0]
\end{verbatim}
\end{quote}

Dann ergeben sich die M"oglichkeiten von Abbildung~\ref{la7}.

\begin{figure}[hbtp]\centering
\setunitlength{0.8cm}
\special{gr setlinecap}
\begin{picture}(11,2)
\special{gr setpoint 0[1,1] [2,1] [2,2] [0,2] [0,1];
poly 0-4;dot 0-4}\put(0,0){\scriptsize\tt poly 0-4}%
\special{gr setpoint 0[4,1] [5,1] [5,2] [3,2] [3,1];
closedpoly 0-4; dot 0-4}%
\put(3,0){\scriptsize\tt closedpoly 0-4}
\special{gr setpoint 0[7,1] [8,1] [8,2] [6,2] [6,1];
spline 0-4; dot 0-4}%
\put(6,0){\scriptsize\tt spline 0-4}
\special{gr setpoint 0[10,1] [11,1] [11,2] [9,2] [9,1];
closedspline 0-4; dot 0-4}%
\put(9,0){\scriptsize\tt closedspline 0-4}
\end{picture}
\caption{Kurven durch Punkte}\label{la7}
\end{figure}

\subsubsection{Spline-Kurven}
Zun"achst betrachten wir die dritte Kurve n"aher, den sog.\ {\bf Spline}.
Tja, und was ist nun ein Spline? Grob gesagt, eine Kurve, die irgendwie
durch eine Anzahl von Kontrollpunkten, die die Kurve definieren, verl"auft.
Abbildung~\ref{la11} zeigt einen Spline, der durch zwei
Endpunkte gegeben ist.

\begin{figure}[hbpt]\centering
\setdefaults
\setunitlength{1pt}
\begin{picture}(110,110)(0,0)
\setlinecap{round arrow}
\put(0,0){\setpoint0}\put(110,0){\setpoint1}\spline{0-1}
\put(0,110){\setpoint1}\spline{0-1}
\setlinecap{round round}
\put(10,10){\setpoint0}\put(90,70){\setpoint1}\spline{0-1}
\special{gr dot 0-1}
\end{picture}
\caption{Spline mit zwei Endpunkten}\label{la11}
\end{figure}

Solche Splines werden, wenn sie nicht nur durch zwei Punkte bestimmt sind,
mit Hilfe von B\'ezierkurven gezeichnet. Eine solche B\'ezierkurve ist
durch vier Punkte bestimmt, wie in Abbildung~\ref{la12} zu sehen ist.
Die B\'ezierkurve l"auft durch die beiden Endpunkte, jeweils in Richtung
der beiden Kontrollpunkte, die in Abh"angigkeit von ihrer Entfernung zur
Kurve globale Kontrolle unterschiedlicher St"arke aus"uben. Man kann
sich die Kontrollpunkte als fest verankerte Magneten vorstellen, die die
bewegliche Kurve anziehen, bis sich ein Gleichgewicht eingestellt hat.

\begin{figure}[hbpt]\centering
\begin{picture}(110,110)(0,0)
\setlinecap{round arrow}
\put(0,0){\setpoint0}\put(110,0){\setpoint1}\spline{0-1}
\put(0,110){\setpoint1}\spline{0-1}
\setlinecap{round round}
\put(10,10){\setpoint0}\put(30,70){\setpoint1}\put(70,90){\setpoint2}
\put(90,20){\setpoint3}\hermitespline{1,0,3,2}
\special{gr dot 0-3; setlinecap round round; setdash 2pt; poly 0-1; poly 3-2;
  poly 1-2; setdash}
\end{picture}
\caption{B\'ezierkurve}\label{la12}
\end{figure}

Soll ein Spline nun durch eine beliebige Anzahl von Punkten laufen,
wird er aus vielen B\'ezierkurven zusammengesetzt. Die Lage der
Kontrollpunkte wird dabei so bestimmt, da"s die "Uberg"ange immer
glatt aussehen. Lediglich der erste Kontrollpunkt der ersten B\'ezierkurve
und der zweite Kontrollpunkt der letzten B\'ezierkurve sind dadurch
nicht bestimmt. Bei einem {\em nat"urlichen Spline\/} werden
diese Kontrollpunkte so gew"ahlt, da"s der Spline in den Endpunkten
keine Kr"ummung mehr hat. Abbildung~\ref{la13} zeigt einen nat"urlichen
Spline durch drei Punkte. Die Kontrollpunkte der B\'ezierkurven sind
hier nicht mehr zu sehen, diese werden ohnehin automatisch berechnet.

\begin{figure}[hbpt]\centering
\begin{picture}(110,110)(0,0)
\setlinecap{round arrow}
\put(0,0){\setpoint0}\put(110,0){\setpoint1}\spline{0-1}
\put(0,110){\setpoint1}\spline{0-1}
\setlinecap{round round}
\put(10,50){\setpoint0}\put(50,70){\setpoint1}\put(90,10){\setpoint2}
\spline{0-2}\special{gr dot 0-2}
\end{picture}
\caption{Nat"urlicher Spline}\label{la13}
\end{figure}

\subsubsection{Splines f"ur fortgeschrittene Aufgaben}
Die n"achsten Beispiele sollen zeigen, da"s es auch m"oglich ist,
Splines mit vorgegebenen Ableitungen an den Enden zu zeichnen.
Dazu seien die folgenden Punkte gegeben:

\begin{quote}
\begin{verbatim}
setpoint 0[0,0] [1,1] [2,2] [1,0] [1,2]
\end{verbatim}
\end{quote}

Die Punkte 3 und 4 sollen in diesem Beispiel die Ableitungen definieren.
In der Praxis sieht dies aus, wie Abbildung~\ref{la8}.

\begin{figure}[hbtp]\centering
\setunitlength{0.8cm}
\special{gr setlinecap}
\begin{picture}(13,3)
\special{gr setpoint 0[0,1] [1,2] [2,3] [1,1] [1,3];
lefthermitespline 3,0-2; setdash 2pt; setlinecap round round; poly 3,0;
setdash; setlinecap; dot 0-3}%
\put(0,0){\scriptsize\tt lefthermitespline 3,0-2}
\special{gr setpoint 0[5,1] [6,2] [7,3] [6,1] [6,3];
righthermitespline 0-2,4; setdash 2pt; poly 2,4;
setdash; dot 0-2,4}%
\put(5,0){\scriptsize\tt righthermitespline 0-2,4}
\special{gr setpoint 0[10,1] [11,2] [12,3] [11,1] [11,3];
hermitespline 3,0-2,4; setdash 2pt; poly 3,0; poly 2,4;
setdash; dot 0-4}%
\put(10,0){\scriptsize\tt hermitespline 3,0-2,4}
\end{picture}
\caption{Hermitesche Splines}\label{la8}
\end{figure}

Die Praxisvorgabe ist die Aufgabe, Kurven zeichnen zu m"ussen, die
eine bestimmte Anfangs- und/oder Endrichtung haben sollen. Nehmen wir
zum Beispiel an, der Spline in Abbildung~\ref{la13} soll im linken
Endpunkt senkrecht nach oben hinauslaufen und im rechten Endpunkt
senkrecht nach unten einm"unden. Dies kann durch die zus"atzliche Vorgabe
der beiden noch freien Kontrollpunkte am Anfang und Ende geschehen.
Ein solchen Spline wollen wir hier {\it Hermiteschen Spline\/} nennen.
Abbildung~\ref{la14} zeigt das Ergebnis.

\begin{figure}[hbpt]\centering
\begin{picture}(110,110)(0,0)
\setlinecap{round arrow}
\put(0,0){\setpoint0}\put(110,0){\setpoint1}\spline{0-1}
\put(0,110){\setpoint1}\spline{0-1}
\setlinecap{round round}
\put(10,50){\setpoint0}\put(50,70){\setpoint1}\put(90,10){\setpoint2}
\put(10,70){\setpoint3}\put(90,30){\setpoint4}
\hermitespline{3,0-2,4}\special{gr dot 0-4; setdash 2pt;
poly 0,3; poly 4,2; setdash}
\end{picture}
\caption{Hermitescher Spline}\label{la14}
\end{figure}

Bei einem \verb|lefthermitespline| dient der erste Punkt in der Liste dazu,
die Richtung der Kurve zu definieren, d.h.\ die Kurve startet
im {\em zweiten\/} Punkt der Liste in Richtung des {\em ersten\/}
Punktes. Je weiter dieser erste Punkt vom Startpunkt entfernt ist
desto ausgepr"agter ist die Richtungsvorgabe.
Ein \verb|righthermitespline| ist das Analogon zum \verb|lefthermitespline|, nur
ist hier die Richtung im letzten Punkt der Liste vorgegeben.
Die Kurve endet im {\em vorletzten\/} Punkt in die Richtung des
{\em letzten\/} Punktes zeigend.
Zwei solcher Kurven sind in Abbildung~\ref{la15} zu sehen. Die untere
der beiden Kurven hat im linken Punkt eine vorgegebene Richtung,
die obere Kurve im rechten Randpunkt.

\begin{figure}[hbpt]\centering
\begin{picture}(110,110)(0,0)
\setlinecap{round arrow}
\put(0,0){\setpoint0}\put(110,0){\setpoint1}\spline{0-1}
\put(0,110){\setpoint1}\spline{0-1}
\setlinecap{round round}
\put(10,30){\setpoint0}\put(90,30){\setpoint1}
\put(30,50){\setpoint2}\lefthermitespline{2,0-1}
\special{gr dot 0-2; setdash 2pt; setlinecap round round; poly 0,2; setdash}
\put(10,70){\setpoint0}\put(90,70){\setpoint1}
\put(70,50){\setpoint2}\righthermitespline{0-1,2}
\special{gr dot 0-2; setdash 2pt; poly 1,2; setdash}
\end{picture}
\caption{Halbe Hermitesche Splines}\label{la15}
\end{figure}

Beim \verb|hermitespline| sind die Richtungen in beiden Endpunkten der Kurve,
also im {\em zweiten\/} und {\em vorletzten\/} Punkt der Liste vorgegeben.
Die Kurve startet in Richtung des {\em ersten\/} angegebenen Punktes
und endet in die Richtung des {\em letzten\/} angegebenen Punktes
zeigend.

Eine weitere Sorte von Splines sind geschlossene Splines,
wie einer in Abbildung~\ref{la16} zu sehen ist. Der Grafikbefehl ist
--- wie nicht anders zu erwarten --- analog zum {\tt spline}-Befehl
{\tt closedspline} und hat als Parameter eine Kontrollpunktliste.
Der erste und letzte Punkt werden so miteinander verbunden, da"s eine
glatte Kurve entsteht.

\begin{figure}[hbpt]\centering
\begin{picture}(110,110)(0,0)
\setlinecap{round arrow}
\put(0,0){\setpoint0}\put(110,0){\setpoint1}\spline{0-1}
\put(0,110){\setpoint1}\spline{0-1}
\put(10,10){\setpoint0}
\put(50,30){\setpoint1}
\put(90,20){\setpoint2}
\put(40,90){\setpoint3}\closedspline{0-3}
\special{gr dot 0-3}
\setlinecap{arrow arrow}
\end{picture}
\caption{Geschlossener Spline}\label{la16}
\end{figure}

\subsubsection{Das Zeichnen von Geraden}
Bei all diesen bisher gezeichneten Splines handelt es sich um sogenannte
{\em kubische\/}
Splines. Es gibt allerdings auch noch die M"oglichkeit {\em lineare\/}
Splines zu zeichnen. Diese linearen Splines sind Polygone.
Abbildung~\ref{la17} zeigt einen einfachen Polygonzug, Abbildung~\ref{la18}
einen geschlossenen Polygonzug.

\begin{figure}[hbpt]\centering
\begin{picture}(110,110)(0,0)
\setlinecap{round arrow}
\put(0,0){\setpoint0}\put(110,0){\setpoint1}\spline{0-1}
\put(0,110){\setpoint1}\spline{0-1}
\setlinecap{round round}
\put(10,10){\setpoint0}
\put(50,30){\setpoint1}
\put(90,20){\setpoint2}
\put(40,90){\setpoint3}\poly{0-3}
\special{gr dot 0-3}
\end{picture}
\caption{Polygonzug}\label{la17}
\end{figure}

\begin{figure}[hbpt]\centering
\begin{picture}(110,110)(0,0)
\setlinecap{round arrow}
\put(0,0){\setpoint0}\put(110,0){\setpoint1}\spline{0-1}
\put(0,110){\setpoint1}\spline{0-1}
\setlinecap{arrow arrow}
\put(10,10){\setpoint0}
\put(50,30){\setpoint1}
\put(90,20){\setpoint2}
\put(40,90){\setpoint3}\closedpoly{0-3}
\special{gr dot 0-3}
\end{picture}
\caption{Geschlossener Polygonzug}\label{la18}
\end{figure}

Die Befehle zum Zeichnen dieser Polygonz"uge sind {\tt poly} und
{\tt closedpoly} und erwarten als Parameter jeweils eine Punktliste.

\subsubsection{Das Zeichnen von gef"ullten Fl"achen}
Es ist m"oglich, beliebige \TeX-Ausgaben an einem geschlossenen Kurvenzug, unabh"angig
davon, aus welchen Teilen er besteht, zu kappen. Eine Demonstration dieser
M"oglichkeit stellt Abbildung~\ref{la19} dar, die eine Fl"ache enth"alt,
die von einem Spline und einem Polygonzug begrenzt ist und mittels
Kappen an der Begrenzungslinie mit einer \verb|\hrule| gef"ullt wurde.

\begin{figure}[hbpt]\centering
\begin{picture}(110,110)(0,0)
\setlinecap{round arrow}
\put(0,0){\setpoint0}\put(110,0){\setpoint1}\spline{0-1}
\put(0,110){\setpoint1}\spline{0-1}
\setlinecap{arrow arrow}
\put(10,10){\setpoint0}
\put(50,40){\setpoint1}
\put(90,20){\setpoint2}
\put(40,30){\setpoint3}
\defclip\spline{0-2}\poly{2,3,0}\clip\vbox{
\hrule width 110pt height 110pt depth 110pt}\endclip
\special{gr dot 0-3}
\end{picture}
\caption{Gef"ullte Fl"ache}\label{la19}
\end{figure}

Das F"ullen geschieht durch Angabe eines Clippfades und beliebigen
\TeX-Ausgaben, die bez"uglich dieses Pfades gekappt werden.

Die Definition des Clippfades geschieht mit dem Befehl {\tt defclip}, der
den Beginn eines Clippfades markiert und mit dem Befehl {\tt clip}, der
den Clip\-pfad abschlie"st und gleichzeitig das Kappen einschaltet. Wird statt
{\tt clip} der Befehl {\tt whiteclip} verwendet, wird das Innere des Clippfades
gel"oscht. Alle folgenden Ausgaben werden bez"uglich dieses Pfades gekappt,
bis der {\tt endclip}-Befehl das Kappen ausschaltet.

Zur einfacheren Handhabung von F"ullmustern betrachten Sie bitte die zwei Macros
{\tt fill(x,y)$\{\}$} und {\tt sfill(x,y)$\{\}$}, die folgenderma"sen definiert
sind:

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\newbox\fillbox
\newdimen\fillshift
\newdimen\fillwidth

\def\fill(#1,#2)#3{\setbox0\hbox to #1\unitlength{
  \cleaders\hbox{#3}\hfil}\loop
  \ifdim\ht\fillbox<#2\unitlength\setbox\fillbox
  \vbox{\unvbox\fillbox\copy0}\repeat\hbox to 0pt{
  \vbox to 0pt{\vss\box\fillbox\vglue0pt}\hss}}

\def\sfill(#1,#2)#3{\setbox0\hbox{#3}%
  \fillshift=0.5\wd0\fillwidth=#1\unitlength\loop
  \ifdim\ht\fillbox<#2\unitlength\setbox\fillbox\vbox{
  \unvbox\fillbox\hbox to\fillwidth{\cleaders\hbox{#3}
  \hfil}}\advance\fillwidth by\fillshift\fillshift=
  -\fillshift\repeat\hbox to 0pt{\vbox to 0pt{\vss\box
  \fillbox\vglue0pt}\hss}}
\end{verbatim}
\end{quote}

Ausgehend von der aktuellen Position wird ein rechteckiger Bereich der Breite
{\tt x} und H"ohe {\tt y} mit dem jeweiligen beliebigen Parameterinhalt "uberdeckt. Bei
Verwendung von {\tt fill} wird der Parameter in aufeinanderfolgenden Zeilen
direkt untereinander gedruckt, bei {\tt sfill} dagegen etwas seitlich
verschoben.

Als Anwendung der F"ullbefehle betrachten Sie bitte folgenden
\LaTeX-Code, mit dem Abbildung~\ref{la19} erzeugt wurde:

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\begin{figure}[hbp]\centering
\begin{picture}(110,110)(0,0)
  \special{gr setlinecap round arrow}
  \put(0,0){\special{gr setpoint 0}}
  \put(110,0){\special{gr setpoint 1}
  \special{gr spline 0-1}}
  \put(0,110){\special{gr setpoint 1}
  \special{gr spline 0-1}}

  \special{gr setlinecap arrow arrow}
  \put(10,10){\special{gr setpoint 0; dot 0}}
  \put(50,40){\special{gr setpoint 1; dot 1}}
  \put(90,20){\special{gr setpoint 2; dot 2}}
  \put(40,30){\special{gr setpoint 3; dot 3}}
  \special{gr defclip; spline 0-2;
    poly 2,3,0; clip}
  \put(0,0){}\vbox{\hrule width 110pt
    height 110 pt depth 110pt}\special{gr endclip}
\end{picture}
\caption{Gef"ullte Fl"ache}
\end{figure}
\end{verbatim}
\end{quote}

Nat"urlich ist es manchmal l"astig, sich ein F"ullmuster als
\TeX/\LaTeX-Code auszudenken, weil sich F"ullmuster oft als Bitmap
leichter definieren lassen. Wenn Sie anstelle der {\tt clip}-
bzw.\ {\tt whiteclip}-Befehle den {\tt patclip}-Befehl verwenden,
wird der Clipbereich mit einem durch {\tt defpattern}
angegebenen F"ullmuster gef"ullt. Die Parameter dieses Befehls
sind {\it genau acht Bytes\/}, die das F"ullmuster spezifizieren.
Im Moment sind also auch nur F"ullmuster mit $8\times 8$-Pixeln
m"oglich. Die Bytes selbst werden als Dezimalzahl angegeben und
jedes gesetzte Bit entspricht einem gesetzten Pixel im
F"ullmuster. Erinnern Sie sich noch an Abbildung~\ref{llitps}?
Die Realisierung dieses Bildchens mit Treiber-Befehlen sieht
wie folgt aus:

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\setdefaults\setunitlength{1bp}
\begin{picture}(354,100)(0,0)
  \put(0,0){\setpoint{0}}
  \put(100,100){\setpoint{1}}
  \put(354,0){\setpoint{2}}
  \defpattern{170,85,170,85,170,85,170,85}
  \defclip\closedpoly{0-2}\patclip\endclip
  \setlinewidth{1 pt}\closedpoly{0-2}
\end{picture}
\end{verbatim}
\end{quote}

Das Ergebnis k"onnen Sie in Abbildung~\ref{ltrps} bewundern.

\begin{figure}[hbtp]\centering
\setdefaults\setunitlength{1bp}
\begin{picture}(354,100)(0,0)
  \put(0,0){\setpoint{0}}
  \put(100,100){\setpoint{1}}
  \put(354,0){\setpoint{2}}
  \defpattern{170,85,170,85,170,85,170,85}
  \defclip\closedpoly{0-2}\patclip\endclip
  \setlinewidth{1 pt}\closedpoly{0-2}
\end{picture}
\caption{Anwendungsbeispiel f"ur {\tt defpattern}, {\tt patclip}}\label{ltrps}
\end{figure}

Als kleines Bonbon folgt noch die etwas umfangreichere Abbildung~\ref{luni},
damit Sie sehen, was Sie jetzt beispielsweise zeichnen k"onnen, falls
Ihnen nicht gerade eine \TeX-Implementation mit Speicherbeschr"ankungen
den Spa"s verdirbt (\TeX\ capacity exceeded $\dots$).

\setdefaults
\begin{figure}[htbp]\centering
\input uni
%
% fuer PCs leider keine Universitaet, sondern \input uni auskommentieren
% und folgende Zeilen aktivieren
%
%\frame{
%\begin{picture}(130,115)(3.8,-10)
%\end{picture} % LaTeX
%}
\caption{Augsburg University}\label{luni}
\end{figure}


\subsubsection{Platzhalter, Funktionen und Ausdr"ucke}
Speziell bei Aufgabenstellungen aus dem naturwissenschaftlichen
Bereich sind nicht nur einzelne Punkte von Grafiken bekannt,
die durch Geraden bzw.\ interpolierende Kurven miteinander
verbunden werden, sondern die mathematischen Formeln, die die
Grafik vollst"andig beschreiben. F"ur solche Anwendungen bieten
die Treiber die M"oglichkeit, mit Werten, Variablen, Funktionen
und Ausdr"ucken, die aus den Grundrechenarten und diesen Konstrukten
--- also wiederum Werten, Variablen und Auswertungen von Funktionen ---
aufgebaut sind, zu arbeiten.

Das Schl"usselwort {\tt def} dient zur Definition von Variablen und
Funktionen. Dazu gibt man einen (bei Funktionen noch undefinierten)
Namen als Platzhalter
an, bei Funktionen gefolgt von in runden Klammern eingeschlossenen
Platzhaltern der Parameter, und l"a"st nach einem $=$-Zeichen den
definierenden Ausdruck folgen. Die Definition wird durch einen
Strichpunkt abgeschlossen, wenn noch weitere Treiberkommandos
im selben \verb|\special|-block folgen. So definieren
z.B.

\begin{quote}\tt
def factor=365.3/0.33;
\end{quote}

und 

\begin{quote}\tt
def test(x,n)=sin(x/n);
\end{quote}

eine Variable {\tt factor} mit aktuellem Wert~1106.97 bzw.\ eine
Funktion {\tt test} in Abh"angigkeit von den Parametern {\tt x}
und {\tt n}. Die Variablen und Funktionen aus Abbildung~\ref{lkofu}
sind bereits vordefiniert:

\begin{figure}[hbtp]\centering
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\tt pi & Kreiszahl $\pi=3.1415\dots$ \\
\tt e & Eulerkonstante $e=2.71828\dots$\\
\tt sin(x) & Sinus\\
\tt cos(x) & Cosinus\\
\tt tan(x) & Tangens\\
\tt asin(x) & Arcus Sinus\\
\tt acos(x) & Arcus Cosinus\\
\tt atan(x) & Arcus Tangens\\
\tt exp(x) & Exponentialfunktion\\
\tt ln(x) & nat"urlicher Logarithmus\\
\tt log(x) & 10er Logarithmus\\
\tt pow(x,y) & Potenzierung $x^y$\\
\tt jump(y0,y1,x) & \tt if (x<0) jump=y0; else jump=y1;\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Vordefinierte Variablen und Funktionen}\label{lkofu}
\end{figure}

\subsubsection{Kurven im $\R^2$}
Durch die gerade beschriebenen M"oglichkeiten kann man z.B.\ fast
beliebige Kurven im $\R^2$ zeichnen, indem man selbstdefinierte oder
vordefinierte Funktionen benutzt, um die Offsets des {\tt setpoint}-Kommandos
zu berechnen. Abbildung~\ref{lkurv} zeigt ein Beispiel.

\begin{figure}[hbtp]\centering
\setdefaults
\begin{picture}(100,100)(0,0)
\special{gr def gauss(x)=exp(-x*x);}
\put(0,0){\special{gr setpoint 0[0,100*gauss(-2.5)] 1[10,100*gauss(-2)]
  2[20,100*gauss(-1.5)] 3[30,100*gauss(-1)] 4[40,100*gauss(-0.5)]
  5[50,100*gauss(0)] 6[60,100*gauss(0.5)] 7[70,100*gauss(1)]
  8[80,100*gauss(1.5)] 9[90,100*gauss(2)] 10[100,100*gauss(2.55)];
  spline 0-10}}
\end{picture}
\caption{Gauss-Glockenkurve}\label{lkurv}
\end{figure}

Der \LaTeX-Code zum Erzeugen von Abbildung~\ref{lkurv} hat folgendes
Aussehen:

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\setdefaults
\begin{picture}(100,100)(0,0)
\special{gr def gauss(x)=exp(-x*x);}
\put(0,0){\special{gr setpoint 0[0,100*gauss(-2.5)]
  1[10,100*gauss(-2)] 2[20,100*gauss(-1.5)]
  3[30,100*gauss(-1)] 4[40,100*gauss(-0.5)]
  5[50,100*gauss(0)] 6[60,100*gauss(0.5)]
  7[70,100*gauss(1)] 8[80,100*gauss(1.5)]
  9[90,100*gauss(2)] 10[100,100*gauss(2.5)];
  spline 0-10}}
\end{picture}
\end{verbatim}
\end{quote}

Bitte beachten Sie, da"s dieses Beispiel nur zur Demonstration des
eben Besprochenen dient. Es gibt wesentlich bequemere Methoden,
Bild~\ref{lkurv} zu erzeugen, indem man die Wiederholm"oglichkeiten
der Grafikbefehle ausnutzt. Dazu mehr im n"achsten Abschnitt!

\subsubsection{Das wiederholte Zeichnen gleicher Objekte}
Eine immer wiederkehrende Aufgabe liegt im wiederholten Zeichnen von bestimmten
Objekten an verschiedenen Positionen. Beim {\tt setpoint}-Kom\-man\-do, allen
Linientypen und dem {\tt dot}-Befehl
ist diese Wiederholungsm"oglichkeit durch Angabe eines Wiederholungsfaktors
mit zugeh"origen Offsets gegeben. Die Syntax der entsprechenden Befehle lautet
nun

\begin{compout}
setpoint \<number> \<repeated> \<position>\quad{\rm und}\\
command \<pointlist> \<repeated> \<position>$\,${\rm ,}
\end{compout}

wobei {\tt command} einer der Befehle {\tt dot}, {\tt spline}, etc.\ ist.
Der Wiederholfaktor {\tt repeated} hat folgenden Aufbau:

\begin{compout}
\<identifier>=\<expression1>..\<expression2>:\<expression3>
\end{compout}

Der Bezeichner {\tt identifier} darf noch nicht definiert sein! Durch die
Aus\-dr"u"cke {\tt expression1} und {\tt expression2} wird der Parameterbereich
des Bezeichners bestimmt und durch {\tt expression3} schlie"slich die
Anzahl Wiederholungen angegeben. Dabei geschehen zwei Dinge: Zum einen
wird das gesamte {\tt setpoint} bzw.\ Linienkommando sooft wiederholt,
wie durch {\tt expression3} angegeben, zum anderen werden genausoviele
"aquidistante Punkte, die den Paramterbereich vollst"andig "uberdecken,
erzeugt. Im Falle des {\tt setpoint}-Kommandos werden beginnend mit dem
Startpunktindex so viele weitere Punkte erzeugt, wie durch den Wiederholfaktor
angegeben. Der Bezeichner kann in der
folgenden Offsetangabe {\tt position} verwendet werden und enth"alt
in der aktuellen Wiederholung jeweils einen Parameterwert im Parameterbereich.
Als Besonderheit kann bei der Offsetangabe bei Wiederholungen zus"atzlich
ein Rotationsfaktor angegeben werden, der eine Drehung bei jeder Wiederholung
bewirkt. Der Rotationsfaktor ist ein Ausdruck, der den absoluten
Drehwinkel bez"uglich der Position des durch {\tt setpoint} definierten Punktes
angibt, falls nicht
in eckigen Klammern ein anderer Bezugspunkt folgt. Ein Beispiel f"ur diese
Anwendung folgt beim Zeichnen von Kreisen und Ellipsen.

Die Wiederholung l"a"st sich --- je nach Speicherausbau des verwendeten
Computers --- bis zu zehnfach verschachteln. Eine Anwendung dieser 
Wiederholung/Verschachtelung ist das
Koordinatengitter links, das durch folgende \LaTeX-Anweisungen erzeugt wurde:
\marginpar{
\setdefaults
\setunitlength{1cm}
\begin{picture}(3,3)
\put(0,0){\setpoint{0[0,0]}
\special{gr dot 0 x=0..3:7 y=0..3:7 [x,y]}}
\end{picture}
}

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\setunitlength{1cm}
\begin{picture}(3,3)
\put(0,0){\setpoint{0[0,0]}
\special{gr dot 0 x=0..3:7 y=0..3:7 [x,y]}}
\end{picture}
\end{verbatim}
\end{quote}

Bitte beachten Sie, da"s der erste Punkt in der Punktliste bei
Verwendung von Wiederholfaktoren mit Linienkommandos schon definiert
sein mu"s, damit die Offsets an einer definierten Stelle ansetzen!
Im vorherigen Beipiel wurde dies durch das vorangehende
{\tt setpoint}-Kommando erreicht!

Die Verwendung von Wiederholfaktoren mit Linienkommandos demonstriert
Abbildung~\ref{lmulsin}, bei der mehrere Sinuskurven entlang einer
Parabelbahn erzeugt werden. Der zugeh"orige \LaTeX-Code sieht wie
folgt aus:

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\setunitlength{2cm}
\begin{picture}(4.15,3)
\put(0,1){\special{gr setpoint 0 t=0..2*pi:50[t/2,sin(t)];
  spline 0-49 x=0..1:25[x,x*x]}}
\end{picture}
\end{verbatim}
\end{quote}

\begin{figure}[hbtp]\centering
\setdefaults
\setunitlength{2cm}
\begin{picture}(4.15,3)
\put(0,1){\special{gr setpoint 0 t=0..2*pi:50[t/2,sin(t)];
  spline 0-49 x=0..1:25[x,x*x]}}
\end{picture}
\caption{Wiederholfaktoren mit Linienkommandos}\label{lmulsin}
\end{figure}


\subsubsection{Das Zeichnen von Teilobjekten}
Manchmal ben"otigt man in einer Zeichnung nur Teilst"ucke einer
bekannten Gesamtkurve. F"ur solche F"alle kann man Punktlisten mit
einem oder mehreren
zus"atzlichen Auswahlparametern versehen. Die Syntax ist wie folgt
beschrieben:

\begin{compout}
command \<pointlist>:\<expr1>..\<expr2>
\end{compout}

Dabei \marginlabel{
\setdefaults\setunitlength{1pt}
\begin{picture}(95,95)
\put(0,0){\special{gr setpoint 0[5,5] 1[15,60] 2[40,25]
  3[60,90] 4[90,5]}}
\special{gr spline 0-4:0..1.1:1.7..2.8:3.3..3.9; dot 0-4}
\end{picture}
}
ist {\tt command} einer der Linienbefehle {\tt poly}, {\tt spline},
etc. Die
Punktliste {\tt \<pointlist>} besteht aus zwei oder mehr Punkten.
Das Zeichen \glqq :\grqq\ ist das syntaktische Erkennungszeichen
f"ur einen
Auswahlparameter und die beiden Parameter {\tt expr} sind zwei
Gleitpunktzahlen, die die Auswahl des Kurvenst"ucks vornehmen.
Der Wert dieser Zahlen mu"s im Bereich $0\le{\tt expr}\le n-1$
liegen, wobei $n$ die Anzahl der Punkte in der Punktliste ist.
Ansonsten sollten die L"angenangaben die L"ange der erzeugten
Kurve nicht "uberschreiten.
Die wiederholte Angabe von Auswahlparametern ist zul"assig.
Folgender \LaTeX-Code liefert das Bild links:

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\setdefaults
\setunitlength{1pt}
\begin{picture}(95,95)
\put(0,0){\special{gr setpoint 0[5,5] 1[15,60] 2[40,25]
  3[60,90] 4[90,5]}}
\special{gr spline 0-4:0..1.1:1.7..2.8:3.3..3.9; dot 0-4}
\end{picture}
\end{verbatim}
\end{quote}

Falls Auswahl- und Wiederholungsparameter gleichzeitig benutzt werden,
mu"s die Angabe des Auswahlparameters zuerst erfolgen!

\subsubsection{Das Zeichnen von Kreisen und Ellipsen}
Eine weitere Aufgabe besteht darin, einen Kreis oder eine Ellipse zu
zeichnen, ohne dabei selbst die Koordinaten einiger St"utzpunkte
auf der Kreislinie angeben zu m"ussen. Dies geschieht durch Berechnung
der Parameterdarstellung der Kreis- bzw.\ Ellipsengleichung in der
Ebene. Dazu folgende Aufgabe: Gegeben seien ein Startwinkel $\phi_0$
und ein Endwinkel $\phi_1$ in Grad, ein Mittelpunkt $x,y$, horizontale
und vertikale Halbachse $r_x,r_y$, die Anzahl approximierender Punkte $n$
sowie ein Drehwinkel bez"uglich des
Mittelpunktes $\alpha$. Gesucht sind die Grafikbefehle der Treiber
zum Zeichnen des zugeh"origen Ellipsenbogens.

Als L"osung werden die $n$ Punkte mit Hilfe eines Wiederholfaktors
und der Parameterdarstellung der Ellipse erzeugt, um $\alpha$
gedreht und schlie"slich mit einem Spline verbunden.

Der Code zum Zeichnen sieht dann wie folgt aus:

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\special{gr
  def t0=phi0*pi/180;
  def t1=phi1*pi/180;
  def rot=alpha*pi/180;
  setpoint 0 t=t0..t1:n[rx*cos(t)+x,ry*sin(t)+y:rot[x,y]];
  spline 0-n-1}
\end{verbatim}
\end{quote}

Mit den Parametern $x=50$, $y=50$, $r_x=50$, $r_y=20$, $\phi_0=0$,
$\phi_1=270$, $\alpha=15$ und $n=12$ ergibt das die Punkte von
Abbildung~\ref{la9} links, die verbunden durch einen Spline den
Ellipsenbogen in Abbildung~\ref{la9} rechts zeichnen.

\begin{figure}[hbtp]\centering
\setdefaults\setunitlength{1pt}
\begin{picture}(250,80)
\put(0,0){
 \special{gr def t0=0*pi/180; def t1=270*pi/180; def rot=15*pi/180;
    setpoint 0 t=t0..t1:12[50*cos(t)+50,20*sin(t)+50:rot[50,50]];
    dot 0-11;
    setpoint 0 t=t0..t1:12[50*cos(t)+200,20*sin(t)+50:rot[200,50]];
    spline 0-11}}
\end{picture}
\caption{Ellipsenbogen}\label{la9}
\end{figure}

\subsubsection{Das Zeichnen von Polynomen und Polygonen}
Zwei Arten von Kurven in der Ebene werden h"aufig zur Darstellung von
Grafiken verwendet und sollen deshalb eigens erw"ahnt werden, n"amlich
Polynome und Polygone. Ein Polynom in der Ebene ist gegeben durch

\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{cc} x\\ y\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{ll}
a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + \ldots\\
b_0 + b_1 t + b_2 t^2 + \ldots
\end{array}\right)\,\mbox{,}
\end{displaymath}

wobei $n$ Punkte bei den "aquidistanten Parameterwerten $t_s + (i\cdot
((t_e-t_s)/(n-1)))\quad 0\le i\le n-1$ berechnet werden. Durch Verwendung eines
Wiederholfaktors l"a"st sich ein solches Polynom sehr einfach darstellen.
Der Parameterbereich wird durch den Bezeichner im Wiederholfaktor abgedeckt
und die Polynomgleichung wird einfach zur Berechnung der Offsets
herangezogen. Als Beispiel ist das Polynom

\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{cc} x\\ y\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{ll}
-4*t+t^3\\
-4+t^2\\
\end{array}\right)\,\mbox{,}
\end{displaymath}

in Abbildung~\ref{la10b} zu sehen. Der
zugeh"orige \LaTeX-Code ist:

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\setdefaults\setunitlength{1cm}
\begin{picture}(12,7)
\special{gr setdotsize 2pt}
\put(6,4){
 \special{gr setpoint 0 t=-2.5..2.5:16[-4*t+t*t*t,-4+t*t];
             dot 0-15; spline 0-15; }}
\end{picture}
\end{verbatim}
\end{quote}

\begin{figure}[hbtp]\centering
\setdefaults\setunitlength{1cm}
\begin{picture}(12,7)
\special{gr setdotsize 2pt}
\put(6,4){
  \special{gr setpoint 0 t=-2.5..2.5:16[-4*t+t*t*t,-4+t*t];
              dot 0-15; spline 0-15; }}
\end{picture}
\caption{Ein {\tt setpoint} Polynom}\label{la10b}
\end{figure}

Ein (evtl.\ offenes) Polygon wird dadurch erzeugt, da"s man zu einem gegebenen
Startpunkt $x,y$ die Seitenl"ange $l$ und einen Startwinkel $\alpha$ sowie einen
Winkel $\beta$, der bei jedem erzeugten Punkt auf den bisherigen Winkel aufaddiert
wird, angibt. Links sehen Sie ein Beispiel, in dem die entsprechenden Parameter
in einer Zeichnung verdeutlicht werden.
\marginlabel{
\setdefaults\setunitlength{1pt}
\begin{picture}(90,90)
\put(0,0){\special{gr def p1=360/5*pi/180/2;
  def p0=10*pi/180;
  def x0=15; def y0=0; def l=60;
  setpoint 0 t=0..3:4[
    x0+l*sin(t*p1)/sin(p1)*cos((1-t)*p1-p0),
    y0-l*sin(t*p1)/sin(p1)*sin((1-t)*p1-p0)];
  poly 0-3; setdash 2pt; setdotsize 5 pt; dot 0;
  setpoint 4[70,0]; poly 0,4;
  setpoint 5[15+(l+15)*cos(p0),(l+15)*sin(p0)]; poly 1,5;
  setpoint 6[15+l*cos(p0)+(l+15)*cos(2*p1+p0),
    l*sin(p0)+(l+15)*sin(2*p1+p0)];
    poly 2,6;}}\ignorespaces
\put(10,8){\makebox(0,0){$x,y$}}
\put(55,4){\makebox(0,0){$\alpha$}}
\put(83,20){\makebox(0,0){$\beta$}}
\put(79,81){\makebox(0,0){$\beta$}}
\put(51,79){\makebox(0,0){$l$}}
\put(74,45){\makebox(0,0){$l$}}
\put(45,11){\makebox(0,0){$l$}}
\end{picture}
}

Als eine Art Kochrezept zum Zeichnen von Polygonen kann folgendes Vorgehen
dienen. F"ur ein Polygon, das durch $n$ Punkte definiert werden soll, erzeugt man
sich $n$ Punkte $z_i=\left(\begin{array}{cc}x_i\\y_i\\\end{array}\right)$  durch
die Iterationsvorschrift

\begin{displaymath}
z_i=\left(\begin{array}{cc}x\\y\\\end{array}\right)+\frac{l\cdot \sin(i\cdot \gamma)}{\sin(\gamma)}
\cdot\left(\begin{array}{rr}\cos((1-i)\cdot \gamma -\alpha)\\-\sin((1-i)\cdot \gamma - \alpha)\\
\end{array}\right)\quad{\rm ,}
\end{displaymath}

wobei der Parameter $i$ im Bereich $0\le i\le n-1$ an den $n$ "aquidistanten
Stellen $0,1,\dots n-1$ eingesetzt wird und der Winkel $\gamma$ sich berechnet
zu $\gamma =\frac{\beta}{2}$.

Mit den Parametern $\alpha=10^{\circ}$, $\beta=360/5^{\circ}$, $l=60$, $n=5$ und
\marginlabel{
\setdefaults
\setunitlength{1pt}
\begin{picture}(90,90)
\put(0,0){\special{gr def p1=360/5*pi/180/2;
  def p0=10*pi/180;
  def x0=15; def y0=0; def l=60;
  setpoint 0 t=0..4:5[
    x0+l*sin(t*p1)/sin(p1)*cos((1-t)*p1-p0),
    y0-l*sin(t*p1)/sin(p1)*sin((1-t)*p1-p0)];
  closedpoly 0-4;
  setdotsize 3 pt; dot 0; setdotsize 4 pt; dot 1;
  setdotsize 5 pt; dot 2; setdotsize 6 pt; dot 3;
  setdotsize 7 pt; dot 4}}
\end{picture}
}
dem Startpunkt $x=15$, $y=0$ ergibt sich das regelm"a"sige F"unfeck links. Die
Eckpunkte sind in der Reihenfolge ihrer Erzeugung jeweils etwas gr"o"ser
gezeichnet. Der
zugeh"orige \LaTeX-Code ist folgender. Bitte beachten Sie, da"s die Winkelangaben
in Grad f"ur die Treiber ins Bogenma"s umgerechnet werden m"ussen. Deshalb
das merkw"urdige Aussehen der Formeln.

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\setdefaults\setunitlength{1pt}
\begin{picture}(90,90)
\put(0,0){\special{gr def p1=360/5*pi/180/2;
  def p0=10*pi/180;
  def x0=15; def y0=0; def l=60;
  setpoint 0 t=0..4:5[
    x0+l*sin(t*p1)/sin(p1)*cos((1-t)*p1-p0),
    y0-l*sin(t*p1)/sin(p1)*sin((1-t)*p1-p0)];
  closedpoly 0-4;
  setdotsize 3 pt; dot 0; setdotsize 4 pt; dot 1;
  setdotsize 5 pt; dot 2; setdotsize 6 pt; dot 3;
  setdotsize 7 pt; dot 4}}
\end{picture}
\end{verbatim}
\end{quote}

\subsubsection{Das Aussehen von Linien}
Als Besonderheit kann man bei allen Linien das Aussehen in weiten Bereichen
bestimmen. So kann man Liniendicke und Linienmuster frei definieren und
hat in der Gestaltung der Linienenden gro"se Auswahl. Dicke, Muster, Art des
Linienendes und Pfeilgr"o"se sind
mittels der Befehle {\tt setlinewidth}, {\tt setdash}, {\tt setlinecap}
und {\tt setarrowsize} leicht
zu steuern, wie folgender \LaTeX-Code beweist, mit dem Abbildung~\ref{llines}
erzeugt wurde.

\begin{figure}[hbtp]\centering
\setdefaults\setunitlength{1pt}
\begin{picture}(150,150)
\put(0,0){\special{gr setpoint 0[10,0] 1[10,150] 2[25,0]
3[25,150] 4[40,0] 5[40,150] 6[55,0] 7[55,150] 8[70,0]
9[70,150] 10[85,0] 11[85,150] 12[100,0] 13[100,150]
14[115,0] 15[115,150] 16[130,0] 17[130,150] 18[145,0]
19[145,150]}}%
\special{gr setlinewidth 1pt; poly 0-1}
\special{gr setlinewidth 2pt; poly 2-3}
\special{gr setlinewidth 3pt; poly 4-5}
\special{gr setlinewidth 2pt; setdash 2pt; poly 6-7}
\special{gr setdash 17pt; poly 8-9}
\special{gr setdash 4pt 2pt 2pt 2pt; poly 10-11; setdash}
\special{gr setlinewidth 3pt; setlinecap plain round; poly 12-13}
\special{gr setlinecap arrow wedge; poly 14-15}
\special{gr setarrowline 3pt; setarrowsize 8pt 15 pt;
  setlinecap triangle triangle; poly 16-17}
\special{gr setlinecap wedge wedge; setarrowsize 8pt 5pt;
  poly 18-19}
\end{picture}
\caption{Verschiedene Linientypen}\label{llines}
\end{figure}

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\begin{figure}[hbtp]\centering
\setdefaults\setunitlength{1pt}
\begin{picture}(150,150)
\put(0,0){\special{gr setpoint 0[10,0] 1[10,150] 2[25,0]
3[25,150] 4[40,0] 5[40,150] 6[55,0] 7[55,150] 8[70,0]
9[70,150] 10[85,0] 11[85,150] 12[100,0] 13[100,150]
14[115,0] 15[115,150] 16[130,0] 17[130,150] 18[145,0]
19[145,150]}}%
\special{gr setlinewidth 1pt; poly 0-1}
\special{gr setlinewidth 2pt; poly 2-3}
\special{gr setlinewidth 3pt; poly 4-5}
\special{gr setlinewidth 2pt; setdash 2pt; poly 6-7}
\special{gr setdash 17pt; poly 8-9}
\special{gr setdash 4pt 2pt 2pt 2pt;
  poly 10-11; setdash}
\special{gr setlinewidth 3pt; setlinecap plain round;
  poly 12-13}
\special{gr setlinecap arrow wedge; poly 14-15}
\special{gr setarrowline 3pt; setarrowsize 8pt 15 pt;
  setlinecap triangle triangle; poly 16-17}
\special{gr setlinecap wedge wedge; setarrowsize 8pt 5pt;
  poly 18-19}
\end{picture}
\caption{Verschiedene Linientypen}\label{llines}
\end{figure}
\begin{figure}[hbtp]\centering
\end{verbatim}
\end{quote}

Bei den Linienenden sind die M"oglichkeiten, Pfeilspitzen
zu erzeugen, eine besondere Betrachtung wert. Eine Pfeilspitze ist prinzipiell aus
drei B\'e\-zier\-kur\-ven aufgebaut, wovon zwei spiegelbildlich die Schenkel des Pfeils
bilden und die dritte die Verbindung der Schenkelenden. Bei diesen B\'ezierkurven
liegt jeweils ein doppelter Kontrollpunkt auf halber L"ange, dessen Lage sich in Richtung
Schwerpunkt des Pfeildreiecks verschieben l"a"st. Diese Verschiebungsfaktoren werden
mittels {\tt setarrowshape} eingegeben. In Bild~\ref{larrow} sind sechs Linien zu
sehen, bei denen die beiden Parameter von {\tt setarrowshape} wie unter dem jeweiligen
Pfeil zu sehen gesetzt sind. Die Linienenden sind oben von der Art {\tt triangle}
und unten {\tt wedge}.

\setdefaults\setlength{\unitlength}{1pt}\setunitlength{1pt}
\begin{figure}[hbtp]\centering
\begin{picture}(270,150)
\put(0,0){\scriptsize\tt 0,0}
\put(50,0){\scriptsize\tt 0.3,0}
\put(100,0){\scriptsize\tt 0,0.5}
\put(150,0){\scriptsize\tt 0.3,0.5}
\put(200,0){\scriptsize\tt -0.3,0}
\put(250,0){\scriptsize\tt 0,-0.5}
\special{gr setlinewidth 1pt; setarrowsize 20pt 30pt; setlinecap wedge triangle}%
\special{gr setarrowline 1pt}%
\put(10,15){\special{gr setpoint 0}}\put(10,150){\special{gr setpoint 1}}
\put(60,15){\special{gr setpoint 2}}\put(60,150){\special{gr setpoint 3}}
\put(110,15){\special{gr setpoint 4}}\put(110,150){\special{gr setpoint 5}}
\put(160,15){\special{gr setpoint 6}}\put(160,150){\special{gr setpoint 7}}
\put(210,15){\special{gr setpoint 8}}\put(210,150){\special{gr setpoint 9}}
\put(260,15){\special{gr setpoint 10}}\put(260,150){\special{gr setpoint 11}}
\special{gr setarrowshape; spline 0-1}
\special{gr setarrowshape 0.3; spline 2-3}
\special{gr setarrowshape 0 0.5; spline 4-5}
\special{gr setarrowshape 0.3 0.5; spline 6-7}
\special{gr setarrowshape -0.3 0; spline 8-9}
\special{gr setarrowshape 0, -0.5; spline 10-11}
\setdefaults
\end{picture}
\caption{Arten von Pfeilspitzen}\label{larrow}
\end{figure}


\subsubsection{Neue Bilder ohne \TeX}
"Ublicherweise gelingen Bilder nicht immer auf Anhieb, sondern
man mu"s im Gegenteil immer wieder kleine und kleinste
"Anderungen verwirklichen, um ein perfektes Ergebnis zu
erreichen. Bei Verwendung der Grafikbefehle der Treiber wie
bisher mu"ste jeweils das Dokument mit der Grafik von \TeX\ neu
"ubersetzt werden, um die "Anderungen in der Zeichnung wirksam werden
zu lassen. Dieser erhebliche Aufwand l"a"st sich durch Verwendung
des {\tt input}-Befehls umgehen. Durch diesen Befehl werden die
Grafikbefehle nicht mehr der {\tt DVI}-Datei entnommen, sondern
aus einer externen Textdatei. Wenn also die Gr"o"se und
Beschriftung einer Zeichnung feststeht, kann man die "ubrigen
Grafikbefehle f"ur den Treiber in eine Datei auslagern, die
"uber

\begin{quote}
\begin{verbatim}
\special{gr input "dateiname"}
\end{verbatim}
\end{quote}

eingeladen wird. Dadurch sind "Anderungen an der Zeichnung durch
"Andern der Datei {\tt dateiname} m"oglich, ohne da"s \TeX\ erneut
"ubersetzen mu"s. Der Dateiname mu"s nat"urlich den Konventionen
des Betriebssystems Ihres Rechners entsprechen. Die doppelten
Anf"uhrungszeichen sind Bestandteile des {\tt input}-Befehls
und d"urfen nicht fehlen.

Ein kleiner Rahmen als Beispiel ist in Abbildung~\ref{lfiletex}
zu sehen.

\begin{figure}[hbtp]
\begin{quote}
\begin{verbatim}
\setdefaults\setunitlength{1cm}
\begin{picture}(10,5)(0,0)
\special{gr input "bildchen.gr"}
\end{picture}
\end{verbatim}
\end{quote}
\caption{Grafikrahmen im \TeX-Dokument}\label{lfiletex}
\end{figure}

Als kleines Beispiel f"ur eine Grafik k"onnte Abbildung~\ref{lfilegr}
dienen. Die Grafikbefehle stehen in einer externen Datei.

\begin{figure}[hbtp]
\begin{quote}
\begin{verbatim}
 setpoint 0[0.5,2.5] 1[2.5,2.5] [2.5,3] [0.5,3];
 closedpoly 0-3;
 setpoint t=pi/8..7/8*pi:5[5+0.5*cos(t),2+0.5*sin(t)];
 setpoint t=pi/8..7/8*pi:5[5+cos(t),2+sin(t)];
 spline 4-8; poly 8,13; spline 13-9; poly 9,4;
 setpoint 14[7.5,0.5] [9.5,0.5] [9.5,1] [7.5,1];
 closedpoly 14-17;
 setlinecap round arrow; setdash 4pt 2pt;
 poly [14,17]1/2, ([0,1]1/2,@), [0,1]1/2 : 0.1..1.8; 
 defclip; defpattern 170,85,170,85,170,85,170,85;
 spline 4-8; poly 8,13; spline 13-9; poly 9,4;
 patclip; endclip
\end{verbatim}
\end{quote}
\caption{Grafikbefehle in Datei {\tt bildchen.gr}}\label{lfilegr}
\end{figure}

Testen Sie doch einmal selbst und probieren Sie eigene
"Anderungen in der Datei {\tt bildchen.gr} aus!
