!set titb=Suites arithmétiques
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!set datm=20211007
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!set next=
!set upbl=
!set dat1=19000101
!set dat2=24000101

!if $wims_read_parm!=$empty
  !goto $wims_read_parm
!endif
!exit

:content
<p>Une suite numérique est un ensemble ordonné de nombres. On note souvent 
!insmath u_0

le terme initial, puis 
!insmath u_1
,  
!insmath u_2
,  
!insmath u_3
,
… les termes suivants. La notion de suites numériques concerne souvent des phénomènes
qui sont décrits d'étape en étape.
</p><p>
On peut aussi considérer qu'une suite est une fonction définie sur une partie de
l'ensemble des entiers naturels qui à chaque entier 
!insmath n
 de
son ensemble définition associe 
!insmath u_n
.</p>
<h3 class="l2w_content defn">Définition</h3><div class="l2w_content defn">
Si on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, on dit
que la suite est arithmétique, et le nombre ajouté à chaque
étape est appelé la raison.</div>
<h3 class="l2w_content exemple">Exemple</h3><div class="l2w_content exemple">
On considère la suite arithmétique 
!insmath (u_n)
 de raison 3 et de terme initial 
!insmath u_0 = 5
.
On peut calculer les termes de proche en proche &#58;
<div class="wimscenter">

!insmath u_0=5\underset{u_1=u_0+3}{\overset{+3}{\longrightarrow}}  u_1 = 8 \underset{u_2=u_1+3}{\overset{+3}{\longrightarrow}} u_2 = 11 \underset{u_3=u_2+3}{\overset{+3}{\longrightarrow}} u_3 = 14\underset{u_4=u_3+3}{\overset{+3}{\longrightarrow}} u_4 = 17

</div>
<p>La formule 
!insmath u_{n + 1} = u_n + 3
 est la <strong>formule de récurrence</strong>
de la suite 
!insmath (u_n)
.
</p><p>
Pour obtenir 
!insmath u_4
 on aura ajouté 4 fois 3 à 
!insmath u_0
 donc 
!insmath u_4 = u_0 + 4 \times 3 = 5 + 12 = 17

</p><p>
Pour obtenir 
!insmath u_n
 on aura ajouté 
!insmath n
 fois 3 à 
!insmath u_0
 donc 
!insmath u_n = u_0 + n \times 3
 ainsi 
!insmath u_n = 5 + 3 n

</p><p>
La formule 
!insmath u_n = 5 + 3n
 est la <strong>formule explicite</strong> (ou formule générale) de la suite 
!insmath (u_n)
.
</p><p>
Pour obtenir 
!insmath u_10
 on ajoutera 6 fois 3 à 
!insmath u_4
 et donc 
!insmath u_10 = u_4 + (10 - 4) \times 3 = 17 + 6 \times 3 = 35
.
</p></div>
<h3 class="l2w_content thm">Théorème</h3><div class="l2w_content thm">
Si la suite 
!insmath (u_n)
 est <strong>arithmétique </strong>de raison 
!insmath r
, alors
la suite 
!insmath (u_n)
 a pour <strong>formule de récurrence</strong>&#58;<br>
 
!insmath u_{n + 1} = u_n + r
<br>
et la suite 
!insmath (u_n)
 a pour <strong>formule explicite</strong> &#58;<br>

!insmath u_n = u_0 + r n
. <br>
Si 
!insmath n
 et 
!insmath p
 sont deux entiers positifs,<br>

!insmath u_n = u_p + (n - p) r
 en particulier 
!insmath u_n = u_1 + (n - 1) r
.
</div>
<h3 class="l2w_content thm">Théorème</h3><div class="l2w_content thm">
Soit 
!insmath (u_n)
 une suite arithmétique de raison 
!insmath r
.
<ul><li>Si la raison 
!insmath r
 est positive alors la suite 
!insmath (u_n)
 est croissante.</li>
<li>Si la raison 
!insmath r
 est négative alors la suite 
!insmath (u_n)
 est décroissante.</li></ul>
</div>
<p>On représente les suites par des points dans un repère cartésien.
Pour une suite arithmétique de raison 
!insmath r
, les points sont sur la droite
de coefficient directeur 
!insmath r
 et d'ordonnée à l'origine 
!insmath u_0
, d'équation 
!insmath y= r n + u_0
.</p>
<h3 class="l2w_content exemple">Exemple</h3><div class="l2w_content exemple">
<ul class="inline wims_nopuce">
<li><p>

!insmath (u_n)
 est une suite arithmétique de raison 3
 et de terme initial 
!insmath u_0=5
,
 
!insmath y = 3x + 5

</p>

!read primitives.phtml 1, draw, 400,300, alt y = 3x + 5	xrange -0.5,5.5	yrange -1,16.5	linewidth 1	parallel 0,0,0,19,1,0,9,black	parallel 0,0,6,0,0,1,22,black	linewidth 2	arrow 0,0,5.5,0,10,black	arrow 0,0,0,16.5,10,black		text black, -0.1,-0.1,large,"0"	text black, 0.9,-0.1,large,"1"	text black, 1.9,-0.1,large,"2"	text black, 2.9,-0.1,large,"3"	text black, 3.9,-0.1,large,"4"	text black, 4.9,-0.1,large,"5"	text black, 5.9,-0.1,large,"6"		text black, -0.3,0.8,large,"0"	text black, -0.3,5.8,large,"5"	text black, -0.3,10.8,large,"10"	text black, -0.3,15.8,large,"15"		segment 0,5,5,20, lightblue	crosshairs red,0,5,1,8,2,11,3,14,4,17	 

</li><li><p>

!insmath v_0 = 10
 et pour tout entier naturel 
!insmath n
, 
!insmath v_{n + 1} = v_n - 2
,

!insmath y = -2x + 10

</p>

!read primitives.phtml 2, draw, 400,300, alt y = -2x + 10	xrange -0.5,5.5	yrange -1,16.5	linewidth 1	parallel 0,0,0,19,1,0,9,black	parallel 0,0,6,0,0,1,22,black	linewidth 2	arrow 0,0,5.5,0,10,black	arrow 0,0,0,16.5,10,black		text black, -0.1,-0.1,large,"0"	text black, 0.9,-0.1,large,"1"	text black, 1.9,-0.1,large,"2"	text black, 2.9,-0.1,large,"3"	text black, 3.9,-0.1,large,"4"	text black, 4.9,-0.1,large,"5"	text black, 5.9,-0.1,large,"6"		text black, -0.3,0.8,large,"0"	text black, -0.3,5.8,large,"5"	text black, -0.3,10.8,large,"10"	text black, -0.3,15.8,large,"15"		segment 0,10,6,-2, lightblue	crosshairs red,0,10,1,8,2,6,3,4,4,2,5,0	 

  </li>
</ul>
</div>

