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Dans le paragraphe précédent, on montre que si \(a \gt) 0, on peut définir une fonction qui
à tout nombre rationnel \(r) associe le nombre réel \(a^r) (qui sera strictement positif).

Si \(a \gt 1\), cette fonction est strictement croissante et si \(a \lt 1\),
elle est strictement décroissante.
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Tout nombre réel non rationnel \(x) peut être encadré par des nombres
  décimaux de plus en plus rapprochés
 et dont la différence est aussi petite que l'on veut ;
 l'écart entre les images par cette fonction pourra être aussi rendu aussi petit que l'on veut, ce qui permet
 de définir \(a^x) comme la limite commune des images des bornes inférieures
 et supérieures de \(x)
 lorsque les écarts tendent vers 0.
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Par exemple, pour avoir un encadrement suffisamment précis de \(2^\pi),
 il suffit d'avoir un encadrement assez précis de \(\,\pi) :
\(3,14 \lt \pi \lt 3,15 \) donc \(2^{3,14} \lt 2^\pi \lt 2^{3,15}).
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La fonction \(x \mapsto 2^x) est ainsi définie de
 \(\RR= \rbrack -\infty ; +\infty\lbrack\) dans \(\rbrack 0 ; +\infty\lbrack\)
 et elle est strictement croissante sur \(\rbrack -\infty ; +\infty\lbrack\).
Il en est de même pour \(x \mapsto \pi^x).
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Par contre, la fonction \(x \mapsto 0,5^x) est définie et strictement décroissante
de \(\,\RR) dans \(\rbrack  0 ; +\infty\lbrack\).
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