!set titb=Fonction affine
!set keyw=
!set datm=20210328
!set prev=
!set next=
!set upbl=
!set dat1=20000101
!set dat2=24000101

!if $wims_read_parm!=$empty
  !goto $wims_read_parm
!endif
!exit

:content
<h3 class="l2w_content defn">Définition</h3><div class="l2w_content defn">
La fonction 
!insmath f
 qui à tout réel 
!insmath x
 associe 
!insmath y = f (x)
 est <strong>affine</strong>
s'il existe deux nombres réels 
!insmath a
 et 
!insmath b
 tels que pour tout réel 
!insmath x
,
<strong>
!insmath f (x) = a x + b
</strong>.
</div>

!read primitives.phtml 1, fold, , Remarque (développer), <h3 class="l2w_content thm">Remarque</h3><div class="l2w_content thm">	Le modèle de fonction le plus simple est la <strong>fonction linéaire</strong> définie par \(f (x) = a x) ce qui correspond à \(y) est proportionnel à \(x) ;<br>	c'est une fonction affine avec \(b=0). </span>	</div> 

Une propriété caractéristique des fonctions affines est &#58;
<h3 class="l2w_content thm">Propriété</h3><div class="l2w_content thm">
<br>
Les écarts sur la variable image 
!insmath y
 sont proportionnels
aux écarts sur la variable initiale 
!insmath x
.
</div>
Plus précisément &#58;
<h3 class="l2w_content thm">Propriété</h3><div class="l2w_content thm">
Si 
!insmath f
 est affine alors il existe un réel 
!insmath a
 tel que pour tous les réels

!insmath x_A
 et
!insmath x_B
 avec 
!insmath x_A
 $m_ne 
!insmath  x_B
, 
!insmath (f (x_B)- f (x_A))/(x_B-x_A )=a
.
Le nombre réel 
!insmath a
 est appelé le coefficient directeur de 
!insmath f
.
Si 
!insmath y_A = f (x_A)
 et 
!insmath y_B = f (x_B)
 alors 
!insmath a=(y_B-y_A)/(x_B-x_A )
.
</div>

!read primitives.phtml 2, fold, , Exemples concrets (Développer), <h3 class="l2w_content thm">Propriété</h3><div class="l2w_content thm">	Si la fonction \(f) est le coût total de \(x) objets alors \(a) est le coût marginal	c'est-à-dire le coût d'un objet supplémentaire lorsqu'on en produit déjà \(x)	et il est constant.<br>	Si la fonction \(f) représente la position d'un objet mobile sur un axe (en mètres)	au bout de \(x) minutes, alors \(a) représente la vitesse en mètres par minutes et	cette vitesse est constante.	</div> 

<p>Graphiquement, le coefficient directeur est le rapport de l'augmentation verticale
par rapport à l'augmentation horizontale. Par ailleurs, 
!insmath b = f (0)

est l'ordonnée à l'origine.</p>
<h3 class="l2w_content exemple">Exemples</h3><div class="l2w_content exemple">
<ul class="inline wims_nopuce wimscenter">
<li>
!insmath f(x)=2/3 x+1
<br>

!read primitives.phtml 3, draw, 450,350, alt f(x)=2/3 x+1	xrange -3.2,6.2	yrange -1.5,5.5	linewidth 1	parallel -3,-2,-3,7,1,0,10,black	parallel -4,-2,7,-2,0,1,12,black	linewidth 2	arrow -3.2,0,6.2,0,10,black	arrow 0,-1.5,0,5.5,10,black		text black, -2.4,-0.1,large,"-2"	text black, -1.4,-0.1,large,"-1"	text black, -0.3,-0.1,large,"0"	text black, 0.7,-0.1,large,"1"	text black, 1.7,-0.1,large,"2"	text black, 2.7,-0.1,large,"3"	text black, 3.7,-0.1,large,"4"	text black, 4.7,-0.1,large,"5"	text black, 5.7,-0.1,large,"6"		text black, -0.4,-0.7,large,"-1"	text black, -0.3,0.3,large,"0"	text black, -0.3,1.3,large,"1"	text black, -0.3,2.3,large,"2"	text black, -0.3,3.3,large,"3"	text black, -0.3,4.3,large,"4"	text black, -0.3,5.3,large,"5"		text blue, 3.1,4.3,giant,a=2/3	text blue, 5.6,4.3,giant,2	text blue, 4.4,3.4,giant,3		segment -4.5,-2,7.5,6, blue	dlines blue,3,3,6,3,6,5	 

 </li><li>
 
!insmath g(x)=-1/3 x+2
<br>
 
!read primitives.phtml 4, draw, 450,350, alt g(x)=-1/3 x+2	xrange -3.2,6.2	yrange -1.5,5.5	linewidth 1	parallel -3,-2,-3,7,1,0,10,black	parallel -4,-2,7,-2,0,1,12,black	linewidth 2	arrow -3.2,0,6.2,0,10,black	arrow 0,-1.5,0,5.5,10,black		text black, -2.4,-0.1,large,"-2"	text black, -1.4,-0.1,large,"-1"	text black, -0.3,-0.1,large,"0"	text black, 0.7,-0.1,large,"1"	text black, 1.7,-0.1,large,"2"	text black, 2.7,-0.1,large,"3"	text black, 3.7,-0.1,large,"4"	text black, 4.7,-0.1,large,"5"	text black, 5.7,-0.1,large,"6"		text black, -0.4,-0.7,large,"-1"	text black, -0.3,0.3,large,"0"	text black, -0.3,1.3,large,"1"	text black, -0.3,2.3,large,"2"	text black, -0.3,3.3,large,"3"	text black, -0.3,4.3,large,"4"	text black, -0.3,5.3,large,"5"		text red, 3.5,1.7,giant,a= -1/3	text red, 1.3,2.3,giant,3	text red, 2.4,1.7,giant,- 1		segment -6,4,9,-1, red	dlines red,0,2,3,2,3,1	 

</li></ul>
</div
<p><strong>Pour déterminer la fonction affine 
!insmath f
 telle que 
!insmath y_A = f(x_A)
 et 
!insmath y_B = f(x_B)
</strong>, on calcule d'abord le coefficient directeur 
!insmath a
, puis on remarque que si 
!insmath y = f (x)

alors &#58;<br>

!insmath (y-y_A)/(x-x_A ) = a
 donc 
!insmath y-y_A=a(x-x_A)
 ainsi 
!insmath y=a(x-x_A)+y_A

d'où <span class="myemph">
!insmath f(x) = a(x-x_A)+y_A
</span>. </p>
<h3 class="l2w_content exemple">Exemple</h3><div class="l2w_content exemple">
Si 
!insmath f
 est une fonction affine telle que 
!insmath f (12) = 17
 et 
!insmath f (16) = 25
 alors le coefficient directeur est &#58;<br>

!insmath a = (25-17)/(16-12)=8/4 =2
 et 
!insmath f (x) = 2 (x-12) + 17 = 2 x - 24 +17 = 2 x - 7
.</p>
<p>On peut ainsi définir une fonction affine à partir des images de deux valeurs distinctes
ou déterminer une équation de droite à partir des coordonnées de deux points distincts.
C'est ainsi le moyen le plus simple pour estimer une quantité à partir de deux informations,
en supposant que les écarts sur la deuxième variable sont proportionnels
aux écarts sur la première.</div>
<br>

