!set titb=La fonction réciproque
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  !goto $wims_read_parm
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:content

!set m_f0=xrange 0,80	yrange 0,16	arrow 0,8,80,8,20,black

!set m_f1=$m_f0	line 0,0,0,16,black

!set m_g1=xrange 0,80	yrange 0,20	line 79,0,79,16,black	arrow 80,8,0,8,20,black

!set m_dessin=xrange -0.4,5.6	yrange -0.5,5.5	linewidth 1	parallel -0.4,-0.4,5.6,-0.4,0,0.2, 35, lightblue	parallel -0.4,-0.4,-0.4,5.6,0.2,0, 35, lightblue	linewidth 2	parallel -0.4,1,5.6,1,0,1,5, grey	parallel 1,-0.4,1,5.6,1,0, 5, grey		linewidth 2	arrow  -0.4,0,5.6,0,10,black	arrow   0,-0.5,0,5.5,10,black		text black,-0.2,-0.05,large,0	text black,0.9,-0.05,large,1	text black,1.9,-0.05,large,2	text black,2.9,-0.05,large,3	text black,3.9,-0.05,large,4	text black,4.9,-0.05,large,5	text black,-0.3,1.2,large,1	text black,-0.3,2.2,large,2	text black,-0.3,3.2,large,3	text black,-0.3,4.2,large,4	text black,-0.3,5.2,large,5	linewidth 1	line 4.15,1.8,4.2,1.7,red	line 4.2,1.7,4.3,1.9,red	line 4.3,1.9,4.5,1.9,red	

!set m_Gr1=$m_dessin	linewidth 3	plot black,x	plot green,x^2	plot red,sqrt(x)		text black,3.5,3.3,giant,y = x	text green,0.7,3.6,giant,y = x	text green,1.5,3.7,large,2	text green,0.8,0.4,giant,f	text red,3.5,1.9,giant,y =	text red,4.3,1.9,giant,x	text red,0.2,0.9,giant,g	

Considérons une fonction 
!insmath f
 définie sur l'ensemble de définition 
!insmath D_f
 et dont l'ensemble des images est 
!insmath I_f
.<br>
Le mot <strong>fonction</strong> impose que chaque élément de 
!insmath D_f
 ait une image et une seule.<br>
Si <b>chaque élément de 
!insmath I_f
 est l'image par 
!insmath f
 <u>d'un seul</u> élément de 
!insmath D_f
</b>,
autrement dit s'il a <u>un seul</u> antécédent par 
!insmath f
 dans 
!insmath D_f
, <br>
alors on peut définir une fonction 
!insmath g
 de 
!insmath I_f
 dans 
!insmath D_f
 qui à chaque élément de 
!insmath I_f
 <b>associe son antécédent</b> par 
!insmath f
.<br>
On dit alors que 
!insmath g
 est la <b>fonction réciproque</b> de 
!insmath f
.<p>
Schématiquement &#58;
<div class="wimscenter">

!insmath \begin{matrix}   D_f & \Large{\overset{f}{\longrightarrow}}&I_f\\   x & \Large{\mapsto}&y = f(x)\\   x = g(y)&\Large{\overset{g}{\mapsfrom}}&y   \end{matrix}  \left |\begin{matrix}   = D_g&\Large{\overset{g}{\longrightarrow}}&D_f = I_g\\   y&\Large{\mapsto}&x = g(y)&\\   y = f(x)& \Large{\overset{f}{\mapsfrom}}&x   \end{matrix}   \right |   \begin{matrix}&\\&g(f(x)) = x\\&f(g(y)) = y\\&\end{matrix} 

</div>
<p>
En passant de 
!insmath f
 à 
!insmath g
, on a en quelque sorte inversé les variables de départ et d'arrivée.
En conséquence, le graphique de 
!insmath g
 est obtenu à partir de celui de 
!insmath f
 en inversant les axes.
Et si le repère est orthonormé, la courbe de 
!insmath g
 est obtenue par symétrie orthogonale de celle de 
!insmath f

par rapport à la droite d'équation 
!insmath y=x
.
</p><p>
C'est ainsi que l'on peut définir et tracer la courbe de la fonction racine carrée à partir de celle de la fonction carré
définie sur 
!insmath \lbrack 0 ; +\infty \lbrack
, et plus généralement celle de la fonction racine 
!insmath n
<sup>ième</sup> à partir de
la fonction puissance 
!insmath n
 définie sur 
!insmath \lbrack 0 ; +\infty \lbrack
.
</p>
<ul class="inline wims_nopuce">
<li>
!read primitives.phtml 1, draw, 200,200, \Gr1 
</li><li>
<img alt="Courbes des fonctions puissances 2, 3 et 12 et de leurs fonctions réciproques" src="$m_filedir/racnx_xn.png"/>
</li></ul>
<h3 class="l2w_content thm">Théorème</h3><div class="l2w_content thm">
<p>
Si une fonction 
!insmath f
 est définie, continue et strictement croissante sur un intervalle I et si l'ensemble des images
est un intervalle J, alors 
!insmath f
 admet une fonction réciproque 
!insmath g
 de J dans I qui est strictement croissante sur J.
</p></div>
<p>L'expression <strong>strictement croissante</strong> peut être remplacée par <strong>strictement décroissante</strong>.<br>
Une fonction est croissante si les images sont dans le même ordre que les antécédents
donc sa réciproque est alors aussi croissante.
Elle est décroissante si les images sont dans l'ordre inverse des antécédents, dans ce cas sa réciproque est aussi décroissante.
L'adverbe <strong>strictement</strong> signifie que deux nombres distincts de l'ensemble de définition I n'ont pas la même image,
ce qui garantit que la fonction admet une fonction réciproque.
</p><p>
Le mot <strong>continue</strong> signifie précisément que l'image de tout intervalle inclus dans I
est un intervalle, autrement dit, il n'y a pas de "trous" dans l'ensemble des images.
Toutes les fonctions linéaires, affines, trinômes et plus généralement les polynômes sont des fonctions continues
sur chaque intervalle de 
!insmath \,\RR
. Il en est de même de chaque fonction racine

!insmath n
<sup>ième</sup>.</p>
La fonction inverse est définie, continue et strictement décroissante sur

!insmath \rbrack 0;+\infty\lbrack
 et l'ensemble des images est

!insmath \rbrack 0 ; +\infty \lbrack
, elle admet donc une fonction réciproque définie de

!insmath \rbrack 0 ; +\infty\lbrack

dans 
!insmath \rbrack 0 ; +\infty \lbrack
 ;
c'est la fonction inverse elle-même &#33; Or pour 
!insmath x \ne 0
, 
!insmath \frac{1}{x} = x^{-1}
 ;
on voit que l'on peut enrichir l'ensemble des
puissances rationnelles avec des exposants négatifs à condition de réduire l'ensemble de définition
à 
!insmath \rbrack 0 ; +\infty \lbrack
.</p>
Remarquons aussi que la fonction réciproque de 
!insmath x \mapsto x^{3/2}
 est 
!insmath y \mapsto y^{2/3}

car 
!insmath (x^{3/2})^{2/3} = x
 et de façon plus générale, pour deux entiers 
!insmath n
 et 
!insmath d
 non nuls,
la fonction réciproque de  
!insmath x \mapsto x^{n/d}
 est 
!insmath y \mapsto y^{d/n}
.

