!set titb=Méthode pour les Paraboles :<br> Utiliser le lien entre l'Analyse et la Géométrie
!set keyw=
!set datm=20210827
!set prev=
!set next=embedParabTab
!set upbl=
!set dat1=19000101
!set dat2=24000101

!if $wims_read_parm!=$empty
  !goto $wims_read_parm
!endif
!exit

:content

!set tmp0=!randitem 2,3,4

!set m_a=$[rint($(tmp0))]

!set tmp0=!randitem -1,1

!set tmp1=!randitem 2,4

!set m_xS=$[rint($(tmp0)*$(tmp1))]

!set tmp0=!randitem -1,1,2,3

!set m_yS=$[rint($(tmp0))]

!ifval $m_yS>0 
!set m_s= + 

!else
!set m_s= 

!endif

<p>
Les paraboles sont des objets géométriques auxquels on peut appliquer
des transformations géométriques, notamment des translations.
Celles qui ont un axe vertical ont une équation du type

!insmath y = a*x^2 + b*x + c
 avec 
!insmath a \neq 0
 dans un repère orthonormé donné.
Ce sont aussi les courbes des fonctions trinômes.
Chaque transformation géométrique va modifier la formule du trinôme associé.
<br>
Comprendre le lien entre les transformations et les fonctions associées permet de
trouver une formule de fonction à partir d'une fonction de référence en observant
les points particuliers de sa courbe.
<br>
C'est l'enjeu de l'exercice "La fusée retardée 1".
<br>
<p>Il faut d'abord que la courbe de la fonction soit une parabole d'axe vertical.
puis repérer les coordonnées 
!insmath (x_S ; y_S)
 du point d'intersection
de cet axe avec la parabole,
repérer si ce point correspond à un minimum ou un maximum,
ce qui donne le signe de 
!insmath a
 (respectivement positif ou négatif).
</p><p>
La courbe est alors l'image de celle de la fonction 
!insmath x \mapsto a x^2

par la translation de vecteur 
!insmath x_S \vec{i} + y_S \vec{j}
 et la formule de la fonction est &#58;
</p><div class="wimscenter">
 
!insmath f(x) = a (x - x_S)^2 + y_S
.
 </div><p>
Pour déterminer 
!insmath a
, on peut remarquer que 
!insmath f (x_S + 1) - f (x_S) = a
,
ce qui ressemble à la technique du coefficient directeur mais n'est valable
qu'en partant du sommet 
!insmath S

de la parabole et seulement pour le point d'abscisse 
!insmath x_S + 1
.
<br>
D'ailleurs 
!insmath a
 ne s'appelle pas le coefficient directeur du trinôme mais on peut
l'appeler le coefficient du carré.
</p><p>
Savoir trouver la forme canonique à partir d'une expression algébrique
permet de résoudre des problèmes de géométrie.</p><p>
La formule d'un trinôme peut représenter l'aire d'une surface constituée de figures géométriques ;
en effet si 
!insmath x
 peut représenter une longueur, 
!insmath x^2
 représente l'aire du carré de côté 
!insmath x
,
et 
!insmath x =
 1 
!insmath x
 représente l'aire du rectangle de côtés 1 et 
!insmath x
.
C'est une autre façon de voir les formules algébriques et cela peut permettre
de se rappeler les identités remarquables.
</p><div class="float_right">
<img alt="Garçon nommé G.O.Maitrie" src="$m_filedir/geom.png" />
</div>
<h3 class="l2w_content exemple">Exemple</h3>
  <div class="l2w_content exemple">

!insmath a=\a
&nbsp;
!insmath x_S = \xS
&nbsp;
!insmath y_S = \yS

!insmath f(x) = \a*(x-\xS)^2+\yS

!read primitives.phtml 1, draw, 300,300, xrange = -5,7	yrange=-2,10	parallel -5,-2,-5,10,1,0,13,lightblue	parallel -5,-2,7,-2,0,1,13,lightblue	arrow -5,0,7,0,10,black	arrow 0,-2,0,10,10,black	text black,-0.2,-0.1,medium,0		text black,-1.1,-0.1,medium,-1	text black,-2.1,-0.1,medium,-2	text black,-3.1,-0.1,medium,-3	text black,-4.1,-0.1,medium,-4	text black,0.9,-0.1,medium,1	text black,1.9,-0.1,medium,2	text black,2.9,-0.1,medium,3	text black,3.9,-0.1,medium,4	text black,4.9,-0.1,medium,5	text black,5.9,-0.1,medium,6	text black,6.9,-0.1,medium,7	text black,-0.3,1.3,medium,1	text black,-0.3,2.3,medium,2	text black,-0.3,3.3,medium,3	text black,-0.3,4.3,medium,4	text black,-0.3,5.3,medium,5	text black,-0.3,6.3,medium,6	text black,-0.3,7.3,medium,7	text black,-0.3,8.3,medium,8	text black,-0.3,9.3,medium,9	plot green,\a*x^2	dline 1,0,1,\a,black	plot red,\a*(x-\xS)^2+\yS	arrow 0,0,\xS,\yS,10,black	text red,\xS,\yS-0.1,medium,S	dline \xS,\yS,\xS+1,\yS,black	dline \xS+1,\yS,\xS+1,\yS+\a,black	text red,\xS+1.1,0.5*\a+\yS,medium,a	text red,1.1,0.5*\a,medium,a	 

<br>
Le sommet a pour coordonnées ($m_xS ; $m_yS).
Le vecteur de la translation est &#58;
<div class="wimscenter">
!insmath \xS \vec{i}
 $m_s 
!insmath \yS \vec{j}
.</div>
</div>

