!set titb=Puissances réelles
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!set dat2=24000101

!if $wims_read_parm!=$empty
  !goto $wims_read_parm
!endif
!exit

:content
<p>
Dans le paragraphe précédent, on montre que si 
!insmath a \gt
 0, on peut définir une fonction qui
à tout nombre rationnel 
!insmath r
 associe le nombre réel 
!insmath a^r
 (qui sera strictement positif).
<br>
Si 
!insmath a \gt 1
, cette fonction est strictement croissante et si 
!insmath a \lt 1
,
elle est strictement décroissante.
</p><p>
Tout nombre réel non rationnel 
!insmath x
 peut être encadré par des nombres
  décimaux de plus en plus rapprochés
 et dont la différence est aussi petite que l'on veut ;
 l'écart entre les images par cette fonction pourra être aussi rendu aussi petit que l'on veut, ce qui permet
 de définir 
!insmath a^x
 comme la limite commune des images des bornes inférieures
 et supérieures de 
!insmath x

 lorsque les écarts tendent vers 0.
</p><p>
Par exemple, pour avoir un encadrement suffisamment précis de 
!insmath 2^\pi
,
 il suffit d'avoir un encadrement assez précis de 
!insmath \,\pi
 &#58;

!insmath 3,14 \lt \pi \lt 3,15 
 donc 
!insmath 2^{3,14} \lt 2^\pi \lt 2^{3,15}
.
</p><p>
La fonction 
!insmath x \mapsto 2^x
 est ainsi définie de
 
!insmath \RR= \rbrack -\infty ; +\infty\lbrack
 dans 
!insmath \rbrack 0 ; +\infty\lbrack

 et elle est strictement croissante sur 
!insmath \rbrack -\infty ; +\infty\lbrack
.
Il en est de même pour 
!insmath x \mapsto \pi^x
.
</p><p>
Par contre, la fonction 
!insmath x \mapsto 0,5^x
 est définie et strictement décroissante
de 
!insmath \,\RR
 dans 
!insmath \rbrack  0 ; +\infty\lbrack
.
</p>

