!set titb=Obtenir la forme canonique par identification des coefficients
!set keyw=
!set datm=20210723
!set prev=
!set next=
!set upbl=main
!set dat1=19000101
!set dat2=24000101

!if $wims_read_parm!=$empty
  !goto $wims_read_parm
!endif
!exit

:content

!set tmp0=!randitem -1,1

!set tmp1=!randitem 2,3,4,5

!set m_a=$[rint($(tmp0)*$(tmp1))]

!set tmp0=!randitem -1,1

!set tmp1=!randitem 2,3,4,5

!set m_b=$[rint($(tmp0)*$(tmp1))]

!set tmp0=!randitem -1,1

!set tmp1=!randitem 2,3,4,5

!set m_c=$[rint($(tmp0)*$(tmp1))]

!set t_=!rawmath -$m_b/(2*$m_a) 
!set m_x=!exec pari print($t_)

!set t_=!rawmath $m_c-$m_a*($m_x)^2 
!set m_y=!exec pari print($t_)

<div>
Soit 
!insmath f(x) = \a*x^2 + \b*x + \c
<br>
Le développement de la forme canonique est &#58;<br>

!insmath a*(x - x_S)^2 + y_S = a*x^2 - 2*a*x_S + a*x_S^2 + y_S
<br>
Pour que 
!insmath f(x) = a*(x - x_S)^2 + y_S
 pour tout réel 
!insmath x
 c-à-d que<br>
 
!insmath a*x^2 - 2*a*x_S*x + a*x_S^2 + y_S = \a*x^2 + \b*x + \c
 pour tout réel 
!insmath x
,<br>
il faut et il suffit que &#58;<br>

!insmath a = \a
 et 
!insmath - 2*a*x_S = \b
 et 
!insmath a*x_S^2 + y_S = \c
<br>

!insmath a = \a
 et 
!insmath x_S = -\b/(2*a)
 et 
!insmath y_S = \c - a*x_S^2
<br>

!insmath a = \a
 et 
!insmath x_S = \x
 et 
!insmath y_S = \c - \a*x_S^2
<br>

!insmath a = \a
 et 
!insmath x_S = \x
 et 
!insmath y_S = \c - \a*(\x^2)
<br>

!insmath a = \a
 et 
!insmath x_S = \x
 et 
!insmath y_S = \y
<br>
La forme canonique de 
!insmath \a*x^2 + \b*x + \c
 est 
!insmath \a*(x - \x)^2 + \y
<br>
On peut vérifier que 
!insmath f(\x) = \a*(\x)^2 + \b*(\x) +\c = \y
<br>
Ainsi 
!insmath f(x_S) = y_S
.<br>
De plus, si 
!insmath a=\a
 et 
!insmath b=\b
, on a 
!insmath x_S = -b/(2*a) = -\b/(2*\a) = \x
.
</div>

