<p>Une suite numérique est un ensemble ordonné de nombres. On note souvent \(u_0)
le terme initial, puis \(u_1),  \(u_2),  \(u_3),
… les termes suivants. La notion de suites numériques concerne souvent des phénomènes
qui sont décrits d'étape en étape.
</p><p>
On peut aussi considérer qu'une suite est une fonction définie sur une partie de
l'ensemble des entiers naturels qui à chaque entier \(n) de
son ensemble définition associe \(u_n).</p>
<h3 class="l2w_content defn">Définition</h3><div class="l2w_content defn">
Si on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, on dit
que la suite est arithmétique, et le nombre ajouté à chaque
étape est appelé la raison.</div>
<h3 class="l2w_content exemple">Exemple</h3><div class="l2w_content exemple">
On considère la suite arithmétique \((u_n)) de raison 3 et de terme initial \(u_0 = 5).
On peut calculer les termes de proche en proche :
<div class="wimscenter">
\(u_0=5\underset{u_1=u_0+3}{\overset{+3}{\longrightarrow}}
 u_1 = 8 \underset{u_2=u_1+3}{\overset{+3}{\longrightarrow}}
u_2 = 11 \underset{u_3=u_2+3}{\overset{+3}{\longrightarrow}}
u_3 = 14\underset{u_4=u_3+3}{\overset{+3}{\longrightarrow}}
u_4 = 17\)
</div>
<p>La formule \(u_{n + 1} = u_n + 3) est la <strong>formule de récurrence</strong>
de la suite \((u_n)).
</p><p>
Pour obtenir \(u_4) on aura ajouté 4 fois 3 à \(u_0) donc \(u_4 = u_0 + 4 \times 3 = 5 + 12 = 17)
</p><p>
Pour obtenir \(u_n) on aura ajouté \(n) fois 3 à \(u_0) donc \(u_n = u_0 + n \times 3) ainsi \(u_n = 5 + 3 n)
</p><p>
La formule \(u_n = 5 + 3n) est la <strong>formule explicite</strong> (ou formule générale) de la suite \((u_n)).
</p><p>
Pour obtenir \(u_10) on ajoutera 6 fois 3 à \(u_4) et donc \(u_10 = u_4 + (10 - 4) \times 3 = 17 + 6 \times 3 = 35).
</p></div>
<h3 class="l2w_content thm">Théorème</h3><div class="l2w_content thm">
Si la suite \((u_n)) est <strong>arithmétique </strong>de raison \(r), alors
la suite \((u_n)) a pour <strong>formule de récurrence</strong>:<br>
 \(u_{n + 1} = u_n + r)<br>
et la suite \((u_n)) a pour <strong>formule explicite</strong> :<br>
\(u_n = u_0 + r n). <br>
Si \(n) et \(p) sont deux entiers positifs,<br>
\(u_n = u_p + (n - p) r) en particulier \(u_n = u_1 + (n - 1) r).
</div>
<h3 class="l2w_content thm">Théorème</h3><div class="l2w_content thm">
Soit \((u_n)) une suite arithmétique de raison \(r).
<ul><li>Si la raison \(r\) est positive alors la suite \((u_n)) est croissante.</li>
<li>Si la raison \(r\) est négative alors la suite \((u_n)) est décroissante.</li></ul>
</div>
<p>On représente les suites par des points dans un repère cartésien.
Pour une suite arithmétique de raison \(r), les points sont sur la droite
de coefficient directeur \(r) et d'ordonnée à l'origine \(u_0), d'équation \(y= r n + u_0).</p>
<h3 class="l2w_content exemple">Exemple</h3><div class="l2w_content exemple">
<ul class="inline wims_nopuce">
<li><p>
\((u_n)) est une suite arithmétique de raison 3
 et de terme initial \(u_0=5),
 \(y = 3x + 5)
</p>
\draw{400,300}{alt y = 3x + 5
xrange -0.5,5.5
yrange -1,16.5
linewidth 1
parallel 0,0,0,19,1,0,9,black
parallel 0,0,6,0,0,1,22,black
linewidth 2
arrow 0,0,5.5,0,10,black
arrow 0,0,0,16.5,10,black

text black, -0.1,-0.1,large,"0"
text black, 0.9,-0.1,large,"1"
text black, 1.9,-0.1,large,"2"
text black, 2.9,-0.1,large,"3"
text black, 3.9,-0.1,large,"4"
text black, 4.9,-0.1,large,"5"
text black, 5.9,-0.1,large,"6"

text black, -0.3,0.8,large,"0"
text black, -0.3,5.8,large,"5"
text black, -0.3,10.8,large,"10"
text black, -0.3,15.8,large,"15"

segment 0,5,5,20, lightblue
crosshairs red,0,5,1,8,2,11,3,14,4,17
}
</li><li><p>
\(v_0 = 10) et pour tout entier naturel \(n), \(v_{n + 1} = v_n - 2),
\(y = -2x + 10)
</p>
\draw{400,300}{alt y = -2x + 10
xrange -0.5,5.5
yrange -1,16.5
linewidth 1
parallel 0,0,0,19,1,0,9,black
parallel 0,0,6,0,0,1,22,black
linewidth 2
arrow 0,0,5.5,0,10,black
arrow 0,0,0,16.5,10,black

text black, -0.1,-0.1,large,"0"
text black, 0.9,-0.1,large,"1"
text black, 1.9,-0.1,large,"2"
text black, 2.9,-0.1,large,"3"
text black, 3.9,-0.1,large,"4"
text black, 4.9,-0.1,large,"5"
text black, 5.9,-0.1,large,"6"

text black, -0.3,0.8,large,"0"
text black, -0.3,5.8,large,"5"
text black, -0.3,10.8,large,"10"
text black, -0.3,15.8,large,"15"

segment 0,10,6,-2, lightblue
crosshairs red,0,10,1,8,2,6,3,4,4,2,5,0
}
  </li>
</ul>
</div>
