!set titb=Observation
!set keyw=
!set datm=20210913
!set prev=embedExpQAlg4
!set next=
!set upbl=main
!set dat1=19000101
!set dat2=24000101

!if $wims_read_parm!=$empty
  !goto $wims_read_parm
!endif
!exit

:content

!set m_x1=$[sqrt(10)-1]

!set m_x2=$[sqrt(20)-1]

!set m_cadre=xrange -2.5,6.5	yrange -1.5,5.5		arrow -2.5,0,6.5,0,10,black	arrow 0,-2.5,0,5.5,10,black	text black,1,-0.1,small,a	text black,3,-0.1,small,x	text black,5,-0.1,small,b	

!set m_gr1=$m_cadre	plot blue,0.1*(x+1)^2+1+0*sqrt(x)	dline 1,0,1,1.4,black	dline 3,0,3,2.6,black	dline 5,0,5,4.6,black	line -2.5,2,6.5,2,red	text red,-2.5,2.8,small,cible C	dline $m_x1,0,$m_x1,2,red	

!set m_gr2=$m_cadre	plot blue,0.1*(x+1)^2+1+0*sqrt(x)	dline 1,0,1,1.4,black	dline 3,0,3,2.6,black	dline 5,0,5,4.6,black	line -2.5,3,6.5,3,red	text red,-2.5,3.8,small,cible C	dline $m_x2,0,$m_x2,3,red	

!set m_gr3=$m_cadre	plot blue,-0.1*(x+1)^2+5+0*sqrt(x)	dline 1,0,1,4.6,black	dline 3,0,3,3.4,black	dline 5,0,5,1.4,black	line -2.5,4,6.5,4,red	text red,-2.5,4.8,small,cible C	dline $m_x1,0,$m_x1,4,red	

!set m_gr4=$m_cadre	plot blue,-0.1*(x+1)^2+5+0*sqrt(x)	dline 1,0,1,4.6,black	dline 3,0,3,3.4,black	dline 5,0,5,1.4,black	line -2.5,3,6.5,3,red	text red,-2.5,3.8,small,cible C	dline $m_x2,0,$m_x2,3,red	

<br>
<p>Pour adapter l'algorithme de la fonction cube à toute fonction soit croissante, soit décroissante, observons la situation où
 on connaît un intervalle &#91 
!insmath a ; b
 &#93 contenant la solution cherchée de l'équation 
!insmath f(x) = C
 et on cherche à réduire de moitié la longueur de cet intervalle.</p>
<p>On calcule 
!insmath x = \frac{a + b}{2}
 puis l'image de 
!insmath x
 par 
!insmath f
.</p>
<b>Si la fonction 
!insmath f
 est croissante sur &#91 
!insmath a ; b
 &#93 &#58; 
!insmath f(a) \le f(b)
</b>
<ul class="inline wims_nopuce">
  <li>
  <table class="wimsnoborder wimscenter">
    <tr>
    <td>
!read primitives.phtml 1, draw, 180,140, \gr1 
</td><td>
!insmath x = \frac{a + b}{2}
<br>
  
!insmath f(b) - f(a) \ge 0
 et 
!insmath f(x) - C \ge 0
<br>
  Le produit <span class="math">
!insmath (f(b) - f(a)) (f(x) - C)
</span> est positif.</td>
     </tr>
    </table>
  Si 
!insmath f(x) \ge C
, la solution est dans  &#91 
!insmath a
 ; 
!insmath x
 &#93.
</li><li>
  <table class="wimsnoborder wimscenter">
     <tr>
     <td>
!read primitives.phtml 2, draw, 180,140, \gr2 
</td>
     <td>
!insmath x = \frac{a + b}{2}
<br>
!insmath f(b) - f(a) \ge 0
 et
     
!insmath f(x) - C \le 0
<br>
     Le produit <span class="math">
!insmath (f(b) - f(a)) (f(x) - C)
</span> est négatif.</td>
     </tr>
     </table>
Si 
!insmath f(x) \le C
, la solution est dans  &#91 
!insmath x
 ; 
!insmath b
 &#93.</td>
</li></ul>
<b>Si la fonction 
!insmath f
 est décroissante sur &#91
!insmath a ; b
&#93 &#58; 
!insmath f(a) \ge f(b)
</b>
<ul class="inline wims_nopuce">
  <li>
  <table class="wimsnoborder wimscenter">
  <tr>
     <td>
!read primitives.phtml 3, draw, 180,140, \gr4 
</td>
     <td>
!insmath x = \frac{a + b}{2}
<br>
     
!insmath f(b) - f(a) \le 0
 et 
!insmath f(x) - C \ge 0

     <br>Le produit
     <span class="math">
!insmath (f(b) - f(a)) (f(x) - C)
</span> est négatif.</td>
     </tr>
   </table>
  Si 
!insmath f(x) \ge C
, la solution est dans  &#91 
!insmath x
 ; 
!insmath b
 &#93.
  </li><li>
  <table class="wimsnoborder wimscenter">
    <tr>
      <td>
!read primitives.phtml 4, draw, 180,140, \gr3 
</td>
      <td>
!insmath x = \frac{a + b}{2}
<br>
      
!insmath f(b) - f(a) \le 0
 et 
!insmath f(x) - C \le 0

      <br>Le produit <span class="math">
!insmath (f(b) - f(a)) (f(x) - C)
</span> est positif.</td>
      </tr>
   </table>
Si 
!insmath f(x) \le C
, la solution est dans  &#91 
!insmath a
 ; 
!insmath x
 &#93.
  </li></ul>
<p>
La condition 
!insmath f(x) \ge C
 ne conduit pas au même intervalle selon que la fonction est croissante ou décroissante.<br>
Par contre, le signe du produit 
!insmath (f(b) - f(a)) (f(x) - C)
 indique le bon intervalle.<br>
Et si le produit 
!insmath (f(b) - f(a)) (f(x) - C)
 est nul, c'est que 
!insmath a=b
 ou 
!insmath f(x)=C
.
</p>

