Manual do Maxima: 66. plotdf

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# 66. plotdf

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## 66.1 Introdução a plotdf

A função `plotdf` cria um gráfico do campo de direção de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem ou um sistema de duas EDO's de primeira ordem autônomas.

Uma vez que esse é um apcote adicional, com o objetivo de usá-lo você deve primeiramente chamá-lo com `load("plotdf")`. Você também precisa do Xmaxima instalado, mesmo que você execute o Maxima usando uma interface diferente.

Para montar um gráfico do campo de direção de uma EDO simples, a EDO deve ser escrita na forma:

           dy
           -- = F(x,y)
           dx

e a função F pode ser dada como um argumento para `plotdf`. A variável independente está sempre identificada como x, e a variável dependente como y. Essas duas variáveis podem não ter quaisquer valores atribuídos a elas.

Para montar o gráfico do campo de direção de um conjunto de duas EDO's autônomas, elas devem ser escritas na forma

           dx             dy
           -- = G(x,y)    -- = F(x,y)
           dt             dt

e o argumento para `plotdf` pode ser uma lista com as duas funções F e G, em qualquer ordem.

Se somente uma EDO for fornecida, `plotdf` irá admitir implicitamente `x=t`, e `G(x,y)=1`, transformando a equação não autônoma em um sistema de duas equações autônomas.

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## 66.2 Funções e Variáveis Definidas para plotdf

Função: plotdf (dydx,...opções...)
Função: plotdf (`[`dxdt,dydt`]`,...opções...)

  Mostra um campo de direção em duas dimensões x e y.

  dydx, dxdt e dydt são expressões que dependem de x e y. Adicionalmente para essas duas variáveis, as expressões podem também depender de um conjunto de parâmetros, com valores numéricos fornecidos com os `parâmetros` opção (a sintaxe de opção é fornecida abaixo), ou com um intervalo de valores permitidos especificados por meio de uma opção sliders.

  Muitas outras opções podem ser fornecidas dentro do comando, ou selecionadas no menu. Curvas integrais podem ser obtidas por meio de um clique no gráfico, ou com a opção `trajectory_at`. A direção da integração pode ser controlada com a opção `direction`, que pode ter valores de forward (adiante), backward(para trás) or both (ambos). O número de passos de integração é fornecido por meio de `nsteps` e o intervalo de tempo entre eles é escolhido com a opção `tstep`. O método de Adams Moulton é usado para a integração; é também possível alternar para um método adaptativo de Runge-Kutta de quarta ordem.

  Menu da janela do gráfico:

  O menu na janela do gráfico tem as seguintes opções: Zoom, irá modificar o comportamento do mouse de forma que seja permitido a você aproximar uma região do gráfico por meio de um clique nessa região como o botão esquerdo. Cada clique próximo a um ponto do gráfico amplia esse gráfico, mantendo o contro no ponto onde você clicou. Mantendo a tecla `Shift` pressioada enquanto clica, afasta para a ampliação anterior. Para continuar calculando trajetórias quando você clica sobre um ponto, selecione Integrate a partir do menu.

  A opção Config no menu pode ser usada para mudar a(s) EDO(s) em uso e para várias outras escolhas. Após as mudanças de configuração serem feitas, a opção do menu Replot estará selecionada, para ativar as novas escolhas. Se um par de coordenadas for fornecido em um campo Trajectory at na caixa de diálogo Config do menu, e a tecla `enter` fo pressionada, uma nova curva integral será mostrada, adicionalmente com as outras já mostradas. Quando Replot está selecionada, somente a última curva integral fornecida será mostrada.

  Mantendo o botão direito do mouse pressionado enquanto o cursor é movido, pode ser usado para arrastar as laterais do gráfico para cima ou para baixo. Parâmetros adicionais tais como o número de passos, o valor inicial de t e os centros de x e y e raios, podem ser escolhidos no menu Config.

  Uma cópia do gráfico pode ser impressa para uma impressora Postscript, ou gravada como um arquivo postscript, usando a opção Save do menu. Para alternar entre imprimir e gravar para um arquivo Postscript, Print Options pode ser selecionada na janela de diálogo de Config. Após as escolhas na janela de diálogo Save serem fornecidas, "Save" deve ser selecionada no primeiro menu, para cirar o arquivo ou imprimir o gráfico.

  Opções de gráfico:

  O comando `plotdf` pode incluir muitos comandos, cada comando é uma lista de dois ou mais itens. O primeiro item é o nome da opção, e o restante compreende o valor ou valores atribuídos à opção.

  As opçõesque são reconhecidas por `plotdf` são as seguintes:

  - tstep define o comprimento dos incrementos sobre a variável independente t, usado para calcular uma curva integral. Se somente uma expressão dydx for fornecida a `plotdf`, a variável x será diretamente proporcional a t. O valor padrão é 0.1.
  - nsteps define o número de passos de comprimento `tstep` que será usando para a variável independente, para calcular uma curva integral. O valor padrão é 100.
  - direction define a direção da variável independente que será seguida para calcular uma curva integral. Possíveis valores são `forward`, para fazer a variável independente aumentar `nsteps` vezes, com incrementos de `tstep`, `backward`, para fazer a variável independente diminuir, ou `both` que irá conduzir a um curva integral que amplia `nsteps` adiante, e `nsteps` para trás. As palavras chave `right` e `left` podem ser usadas como sinonimos para `forward` e `backward`. O valor padrão é `both`.
  - tinitial define o valor inicial da variável t usada para calcular curva integral. Uma vez que equações diferenciais forem autônomas, aquela esxolha irá aparecer somente no gráfico das curvas como funções de t. O valor padrão é 0.
  - versus_t é usado para criar uma segunda janela de gráfico, com um gráfico de uma curva integral, como duas funções x, y, da variável independente t. Se para `versus_t` for atribuído qualquer valor diferente de 0, a segunda janela de gráfico será mostrada. A segunda janela de gráfico inclui outro menu, semelhante ao menu da janela de gráfico principal. O valor padrão é 0.
  - trajectory_at define as coordenadas xinitial e yinitial para o ponto de partida de uma curva integral. A opção está vazia por padrão.
  - parameters define uma lista de parâmetros, e seus valores numéricos, usados na definição das equações diferenciais. O nome e valores dos parâmetros devem ser fornecidos em uma seqüência de caracteres com uma seqüência de pares `nome=valor` separados por vírgula.
  - sliders define uma lista de parâmetros que será modificada interativamente usando botões de deslizamento, e o intervalo de variação desses parâmetros. Os nomes e intervalos dos parâmetros devem ser fornecidos in a seqüência de caracteres com uma seqüência de elementos `name=min:max` separados por vírgula.
  - xfun define uma seqüência de caracteres com uma seqüência de funções separadas com ponto e vírgula x para serem mostradas, no topo do campo de direção. Essas funções irão ser passadas pelo Tcl e não pelo Maxima.
  - xradius é metade do comprimento do intervalo dos valores que irão ser mostrados na direção x. O valor padrão é 10.
  - yradius é metade do comprimento do intervalo dos valores que irão ser mostrados na direção y. O valor padrão é 10.
  - xcenter é a coordenada x do ponto no centro do gráfico. O valor padrão é 0.
  - ycenter é a coordenada y do ponto no centro do gráfico. O valor padrão é 0.
  - width define a largura da janela do gráfico, em pixels. O valor padrão é 500.
  - height define a altura da janela do gráfico, em pixels. O valor padrão é 500.

  Exemplos:

  NOTA: Dependendo da interface usada para executar o Maxima, as funções que usam `openmath`, em particular `plotdf`, podem possivelmente disparar um erro se erminarem com ponto e vírgula e não com um sinal de dólar. Para evitar problemas, usamos um sinal de dólar em todos os exemplos abaixo.

  - Para mostrar o campo de direção da equação diferencial y' = exp(-x) + y e a solução que vai em toda a extensão do intervalo (2, -0.1):

        (%i1) load("plotdf")$

        (%i2) plotdf(exp(-x)+y,[trajectory_at,2,-0.1]);

  - Para obter o campo de direção para a equação diff(y,x) = x - y^2 e a solução com condição inicial y(-1) = 3, podemos usar o comando:

        (%i3) plotdf(x-y^2,[xfun,"sqrt(x);-sqrt(x)"],
                  [trajectory_at,-1,3], [direction,forward],
                  [yradius,5],[xcenter,6]);

    O gráfico também mostra a função y = sqrt(x).

  - O seguinte exemplo mostra o campo de direção de um oscilador harmônico, definido pelas duas equações dx/dt = y e dy/dt = -k*x/m, e a curva integral em todo o intervalo (x,y) = (6,0), com um botão de deslizamento que irá permitir a você mudar o valor de m interativamente (k está fixado em 2):

        (%i4) plotdf([y,-k*x/m],[parameters,"m=2,k=2"],
                    [sliders,"m=1:5"], [trajectory_at,6,0]);

  - Para montar o gráfico do campo de direção da equação de Duffing, m*x"+c*x'+k*x+b*x^3 = 0, introduzimos a variável y=x' e usamos:

        (%i5) plotdf([y,-(k*x + c*y + b*x^3)/m],
                      [parameters,"k=-1,m=1.0,c=0,b=1"],
                      [sliders,"k=-2:2,m=-1:1"],[tstep,0.1]);

  - O campo de direção para um pêdulo amortecido, incluindo a solução para as condições iniciais fornecidas, com um botão de deslizamento que pode ser usado para mudar o valor da massa m, e com um gráfico das duas variáveis de estado como uma função do tempo:

        (%i6) plotdf([y,-g*sin(x)/l - b*y/m/l],
                 [parameters,"g=9.8,l=0.5,m=0.3,b=0.05"],
                 [trajectory_at,1.05,-9],[tstep,0.01],
                 [xradius,6],[yradius,14],
                 [xcenter,-4],[direction,forward],[nsteps,300],
                 [sliders,"m=0.1:1"], [versus_t,1]);

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